Determine se as seguintes séries convergem ou divergem: sumn=1^infty(1-2n)^n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries! A questão pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: (1 - 2n)^n approx e^-2 . A gente sabe que tende a quando fica bem grande. No nosso caso, temos , então:

Passo 3

Agora, como o expoente na nossa série é [(1 - 2n)^n]^n approx (e^-2)^n = e^-2n , podemos reescrever o termo geral como:
Isso significa que, para valores grandes de , o termo se comporta como .

Passo 4

Agora, a gente olha para a série . Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se a razão absoluta .

Passo 5

No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série geométrica converge.

Resposta

A série converge.

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