Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries! A questão pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. A gente sabe que
tende a
quando
fica bem grande. No nosso caso, temos
, então:
Passo 3
Agora, como o expoente na nossa série é
, podemos reescrever o termo geral como:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo
se comporta como
.
Passo 4
Agora, a gente olha para a série
. Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se a razão absoluta
.
Passo 5
No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a série geométrica
converge.
Resposta
A série
converge.
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