Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e para resolver esse tipo de equação, geralmente usamos substituições que facilitam a integração. Vamos precisar manipular a equação para torná-la mais simples e aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação pra deixar mais fácil de trabalhar. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso facilita porque agora temos uma expressão que podemos tentar simplificar ou substituir.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Mas sabemos que , então podemos isolar :
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Lembre que , então podemos expressar em termos de e :
Substituindo isso na equação da derivada:
Então, temos:
Isso se simplifica para uma equação separável:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo e :
Então, a equação fica:
Vamos resolver para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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