Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e para resolver esse tipo de equação, geralmente usamos substituições que facilitam a integração. Vamos precisar manipular a equação para torná-la mais simples e aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação pra deixar mais fácil de trabalhar. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso facilita porque agora temos uma expressão que podemos tentar simplificar ou substituir.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Mas sabemos que
, então podemos isolar
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Lembre que
, então podemos expressar
em termos de
e
:
Substituindo isso na equação da derivada:
Então, temos:
Isso se simplifica para uma equação separável:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
e
:
Então, a equação fica:
Vamos resolver para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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