Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente busca encontrar uma função
que satisfaça essa equação e a condição inicial dada. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A derivada de
em relação a
, que é
, é igual a
. Para resolver isso, podemos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados dessa igualdade. A ideia é encontrar uma função
que, ao diferenciarmos, nos dê
.
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 4
Vamos resolver essas integrais. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Onde
e
são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
O que simplifica para:
Isso significa que
. Portanto, a solução da equação diferencial é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.