Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente busca encontrar uma função que satisfaça essa equação e a condição inicial dada. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A derivada de em relação a , que é , é igual a . Para resolver isso, podemos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados dessa igualdade. A ideia é encontrar uma função que, ao diferenciarmos, nos dê .
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 4

Vamos resolver essas integrais. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Onde e são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante :

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
Agora, aplicamos a condição inicial :
O que simplifica para:
Isso significa que . Portanto, a solução da equação diferencial é:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

Exercícios relacionados

Imagine que você salta a uma cama elástica gigante desde uma altura de 100 m . Cada vez que você pula, você sobe até uma altura de da sua altura anterior. Mostre que a distância total que você percorre até ficar em repouso é de 500 m .
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.