Imagine que você salta a uma cama elástica gigante desde uma altura de 100 m . Cada vez que você pula, você sobe até uma altura de da sua altura anterior. Mostre que a distância total que você percorre até ficar em repouso é de 500 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um salto em uma cama elástica gigante. Você começa saltando de uma altura de 100 metros e, a cada pulo, você consegue subir até dois terços da altura que subiu anteriormente. Nosso objetivo é mostrar que a distância total que você percorre até parar é de 500 metros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que nos ajuda a somar uma sequência de termos que têm uma razão comum entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as distâncias percorridas em cada salto. Quando você salta pela primeira vez, você desce 100 metros até a cama elástica. Em seguida, você sobe dessa altura, que é metros. Depois, você desce novamente a mesma altura que subiu, ou seja, mais 66,67 metros.

Passo 3

No próximo salto, você sobe da altura anterior de 66,67 metros, que dá aproximadamente 44,44 metros, e desce esses 44,44 metros. E assim por diante. Cada vez, a altura que você sobe e desce é da altura anterior.

Passo 4

Vamos organizar essas distâncias. A primeira descida é 100 metros. As subidas e descidas seguintes formam uma sequência: 66,67; 44,44; 29,63; e assim por diante. Isso é uma série geométrica onde cada termo é do termo anterior.

Passo 5

Para calcular a distância total percorrida, somamos todas as descidas e subidas. A primeira descida é 100 metros. Depois, temos uma série infinita onde cada par de subida e descida é da altura anterior.
Matematicamente, a distância total é:

Passo 6

Perceba que dentro dos parênteses, temos uma série geométrica infinita onde o primeiro termo metros e a razão .
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, voltando à fórmula da distância total :

Resposta

A distância total percorrida até ficar em repouso é de 500 metros.

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