Imagine que você salta a uma cama elástica gigante desde uma altura de 100 m . Cada vez que você pula, você sobe até uma altura de
da sua altura anterior. Mostre que a distância total que você percorre até ficar em repouso é de 500 m .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um salto em uma cama elástica gigante. Você começa saltando de uma altura de 100 metros e, a cada pulo, você consegue subir até dois terços da altura que subiu anteriormente. Nosso objetivo é mostrar que a distância total que você percorre até parar é de 500 metros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que nos ajuda a somar uma sequência de termos que têm uma razão comum entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as distâncias percorridas em cada salto. Quando você salta pela primeira vez, você desce 100 metros até a cama elástica. Em seguida, você sobe
dessa altura, que é
metros. Depois, você desce novamente a mesma altura que subiu, ou seja, mais 66,67 metros.
Passo 3
No próximo salto, você sobe
da altura anterior de 66,67 metros, que dá aproximadamente 44,44 metros, e desce esses 44,44 metros. E assim por diante. Cada vez, a altura que você sobe e desce é
da altura anterior.
Passo 4
Vamos organizar essas distâncias. A primeira descida é 100 metros. As subidas e descidas seguintes formam uma sequência: 66,67; 44,44; 29,63; e assim por diante. Isso é uma série geométrica onde cada termo é
do termo anterior.
Passo 5
Para calcular a distância total percorrida, somamos todas as descidas e subidas. A primeira descida é 100 metros. Depois, temos uma série infinita onde cada par de subida e descida é
da altura anterior.
Matematicamente, a distância total
é:
Passo 6
Perceba que dentro dos parênteses, temos uma série geométrica infinita onde o primeiro termo
metros e a razão
.
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, voltando à fórmula da distância total
:
Resposta
A distância total percorrida até ficar em repouso é de 500 metros.
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