Verdadeiro ou Falso? Justifique. Se
é uma função polinomial real não-constante, então o domínio de
não é o conjunto de todos os números reais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função polinomial real
que não é constante, e queremos saber se o domínio da função
inclui todos os números reais. Vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como polinômios se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função é basicamente todos os valores de
que você pode colocar na função sem problemas, ou seja, sem que a função “quebre”.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Para essa função funcionar, o denominador
não pode ser zero, porque a divisão por zero não é permitida na matemática.
Passo 4
Como
é um polinômio real não-constante, ele tem pelo menos uma raiz real. Isso significa que existe pelo menos um valor de
para o qual
.
Passo 5
Por causa disso, em pelo menos um ponto,
vai tentar dividir por zero, o que não é possível. Então, esse valor de
não pode estar no domínio de
.
Passo 6
Se existe um valor de
que não est�� no domínio de
, isso significa que o domínio não é o conjunto de todos os números reais.
Resposta
Verdadeiro. Como toda função polinomial real não-constante tem pelo menos uma raiz real, o denominador
se anula em algum ponto, fazendo com que o domínio de
não inclua todos os números reais.
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