Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty 210^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou sobre a série . Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão quer saber se essa série converge ou diverge e, se convergir, qual é o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é um tipo de série que tem uma razão constante entre os termos consecutivos.

Passo 2

Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série começa em , então precisamos ajustar um pouquinho. Podemos reescrever a série como . Aqui, e .

Passo 3

Para saber se a série converge, precisamos verificar o valor de . Se , a série converge; se , ela diverge.
No nosso caso, , e . Então, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
a = 210 = 0,2 r = 110 = 0,1 S = 0,21 - 0,1 = 0,20,9 = 29

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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