Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou sobre a série
. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão quer saber se essa série converge ou diverge e, se convergir, qual é o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é um tipo de série que tem uma razão constante entre os termos consecutivos.
Passo 2
Uma série geométrica tem a forma geral
, onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série começa em
, então precisamos ajustar um pouquinho. Podemos reescrever a série como
. Aqui,
e
.
Passo 3
Para saber se a série converge, precisamos verificar o valor de
. Se
, a série converge; se
, ela diverge.
No nosso caso,
, e
. Então, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é
.
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.