Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa. Vamos precisar entender a razão da série e verificar se ela faz a série convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que pode ser reescrito como . Então:
Passo 3
Agora, nossa série fica:
Isso é uma série geométrica, onde cada termo é vezes o termo anterior. A razão da série é .
Passo 4
Para saber se uma série geométrica converge, a gente verifica o valor absoluto da razão :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
No nosso caso, . Calculando o valor absoluto:
Passo 5
Como , isso significa que . Portanto, de acordo com a regra das séries geométricas, a nossa série converge.