Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa. Vamos precisar entender a razão da série e verificar se ela faz a série convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que pode ser reescrito como . Então:

Passo 3

Agora, nossa série fica:
Isso é uma série geométrica, onde cada termo é vezes o termo anterior. A razão da série é .

Passo 4

Para saber se uma série geométrica converge, a gente verifica o valor absoluto da razão :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, . Calculando o valor absoluto:

Passo 5

Como , isso significa que . Portanto, de acordo com a regra das séries geométricas, a nossa série converge.

Resposta

A série converge.

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(a) Determine os dez primeiros termos desta sequência.
(b) Os termos da nova sequência dão uma aproximação para o igualmente famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por . Determine uma aproximação dos cinco primeiros termos dessa nova sequência.
© Supondo que , mostre que .
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.