Determine se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=2^infty 5^n7^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa. Vamos precisar entender a razão da série e verificar se ela faz a série convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 5^n7^n = (57)^n . Sabemos que pode ser reescrito como . Então:

Passo 3

Agora, nossa série fica:
sumn=2^infty (57)^n
Isso é uma série geométrica, onde cada termo é vezes o termo anterior. A razão da série é .

Passo 4

Para saber se uma série geométrica converge, a gente verifica o valor absoluto da razão |57| = 57 approx 0,714 :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, . Calculando o valor absoluto:

Passo 5

Como , isso significa que . Portanto, de acordo com a regra das séries geométricas, a nossa série converge.

Resposta

A série converge.

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