Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumk=1^infty 3^-2 k(-6)^4-k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série sumk=1^infty 3^-2 k(-6)^4-k converge ou diverge. Se ela converge, também vamos calcular a soma. Para resolver isso, vamos trabalhar com séries geométricas e propriedades de potências. Precisaremos entender como simplificar a expressão geral da série e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 3^-2k(-6)^4-k. Lembre-se que a^-n = 1a^n. Então:
3^-2k(-6)^4-k = 13^2k(-6)^4-k = 13^2k cdot (-6)^4 - k

Passo 3

Vamos reescrever (-6)^4 - k como (-6)^4 cdot (-6)^-k. Sabemos que (-6)^4 = 1296 e (-6)^-k = 1(-6)^k. Então:
13^2k cdot (-6)^4 - k = 13^2k cdot 1296 cdot 1(-6)^k = (-6)^k3^2k cdot 1296

Passo 4

Agora, vamos simplificar (-6)^k3^2k. Podemos reescrever 3^2k como (3^2)^k = 9^k. E (-6)^k pode ser escrito como (-1)^k cdot 6^k. Então:
(-6)^k3^2k = (-1)^k cdot 6^k9^k = (-1)^k cdot (69)^k = (-1)^k cdot (23)^k

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
(-6)^k3^2k cdot 1296 = (-1)^k cdot (23)^k1296 = 11296 cdot (-23)^k
Então, a série original fica:
sumk=1^infty 11296 cdot (-23)^k

Passo 6

Observamos que essa é uma série geométrica da forma sumk=1^infty ar^k, onde a = 11296 e r = -23. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, se |r| < 1.
Aqui, |-23| = 23 < 1, então a série converge.

Passo 7

Agora, vamos calcular a soma da série geométrica convergente. A soma de uma série geométrica iniciando em k=1 é dada por:
S = a r1 - r
Substituindo os valores:
S = 11296 cdot (-23)1 - (-23) = -238881 + 23 = -23888 div 53 = -23888 cdot 35 = -619440
Simplificando:
-619440 = -13240

Resposta

A série converge e a soma é -13240.

Exercícios relacionados