Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série converge ou diverge. Se ela converge, também vamos calcular a soma. Para resolver isso, vamos trabalhar com séries geométricas e propriedades de potências. Precisaremos entender como simplificar a expressão geral da série e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Lembre-se que . Então:

Passo 3

Vamos reescrever como . Sabemos que e . Então:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Podemos reescrever como . E pode ser escrito como . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
Então, a série original fica:

Passo 6

Observamos que essa é uma série geométrica da forma , onde e . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, se .
Aqui, , então a série converge.

Passo 7

Agora, vamos calcular a soma da série geométrica convergente. A soma de uma série geométrica iniciando em é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A série converge e a soma é .

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(a) Encontre as aproximações para .
(b) Mostre que, se , então .
Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: c) Mostre que divide em