Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série
converge ou diverge. Se ela converge, também vamos calcular a soma. Para resolver isso, vamos trabalhar com séries geométricas e propriedades de potências. Precisaremos entender como simplificar a expressão geral da série e aplicar testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Lembre-se que
. Então:
Passo 3
Vamos reescrever
como
. Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Podemos reescrever
como
. E
pode ser escrito como
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Então, a série original fica:
Passo 6
Observamos que essa é uma série geométrica da forma
, onde
e
. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja, se
.
Aqui,
, então a série converge.
Passo 7
Agora, vamos calcular a soma da série geométrica convergente. A soma de uma série geométrica iniciando em
é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A série converge e a soma é
.
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(a) Encontre as aproximações
para
.
(b) Mostre que, se , então
.
(b) Mostre que, se
Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: c) Mostre que
divide
em