Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty 3^2 n(-6)^4-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty 3^2 n(-6)^4-n é convergente ou divergente. Além disso, se a série convergir, a gente também precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que é um tipo específico de série com uma razão constante entre os termos. Vamos precisar simplificar a expressão da série para identificar se ela é uma série geométrica e qual é a sua razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 3^2n(-6)^4-n. Sabemos que:
  • 3^2n = (3^2)^n = 9^n
  • (-6)^4-n = (-6)^4(-6)^n = 1296(-6)^n
Agora, substituímos esses valores na expressão original:
3^2n(-6)^4-n = 9^n1296(-6)^n = 9^n cdot (-6)^n1296 = (9 cdot -6)^n1296 = (-54)^n1296
Então, a série fica:
sumn=1^infty (-54)^n1296

Passo 3

Agora que simplificamos, vamos analisar se essa série é geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=0^infty ar^n
Onde:
  • a é o primeiro termo
  • r é a razão comum entre os termos
No nosso caso, a série é:
sumn=1^infty (-54)^n1296
Aqui, podemos ver que:
  • a = (-54)^11296 = -541296 = -124
  • r = -54

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão |r| precisa ser menor que 1, ou seja, |r| < 1. Se essa condição não for atendida, a série diverge.
No nosso caso:
|r| = |-54| = 54
Como 54 > 1, a condição para convergência não é satisfeita.

Resposta

A série sumn=1^infty 3^2 n(-6)^4-n é divergente.

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