Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Além disso, se a série convergir, a gente também precisa calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que é um tipo específico de série com uma razão constante entre os termos. Vamos precisar simplificar a expressão da série para identificar se ela é uma série geométrica e qual é a sua razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Sabemos que:
Agora, substituímos esses valores na expressão original:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora que simplificamos, vamos analisar se essa série é geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
Onde:
-
é o primeiro termo -
é a razão comum entre os termos
No nosso caso, a série é:
Aqui, podemos ver que:
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão
precisa ser menor que 1, ou seja,
. Se essa condição não for atendida, a série diverge.
No nosso caso:
Como
, a condição para convergência não é satisfeita.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
(a) Determine os dez primeiros termos desta sequência.
(b) Os termos da nova sequência dão uma aproximação para o igualmente famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por
. Determine uma aproximação dos cinco primeiros termos dessa nova sequência.
© Supondo que , mostre que
.
(b) Os termos da nova sequência
© Supondo que
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
(a) Encontre as aproximações
para
.
(b) Mostre que, se , então
.
(b) Mostre que, se