Resolva a integral integral x sen x d x aplicando integração por partes.
Integre a expressão resultante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Esse método é ótimo quando a integral é o produto de duas funções, como aqui onde temos e . Para isso, precisamos identificar qual parte da integral vamos chamar de e qual de .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher:
  • (porque derivar simplifica a expressão)
  • (depois de integrar, isso vai virar algo fácil)
Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando : (já que )

Passo 3

A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo nossos valores:
integral x sin x , dx = x (-cos x) - integral (-cos x) , dx
Simplificando:
- x cos x + integral cos x , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar integral cos x , dx = sin x :
- x cos x + sin x
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral - x cos x + sin x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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