Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
b) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre séries alternadas e os testes de convergência. A gente vai precisar usar o Teste da Série Alternada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo , que alterna os sinais dos termos positivos e negativos conforme aumenta. Séries alternadas seguem a forma geral , onde é uma sequência de termos positivos.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes: para todo grande o suficiente.
  2. O limite dos termos tende a zero: .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se os termos são decrescentes. Para ver isso, comparamos com :
À medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então . Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: se o limite dos termos tende a zero.
Dividindo numerador e denominador por :
Então, o limite dos termos é zero.

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
а) ;
Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial é um campo gradiente.
a)
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
c)