Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
b) sumn=3^infty(-1)^n nn^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série sumn=3^infty (-1)^n nn^2+1 converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre séries alternadas e os testes de convergência. A gente vai precisar usar o Teste da Série Alternada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo (-1)^n, que alterna os sinais dos termos positivos e negativos conforme n aumenta. Séries alternadas seguem a forma geral sum (-1)^n an, onde an é uma sequência de termos positivos.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são decrescentes: an+1 <= an para todo n grande o suficiente.
  2. O limite dos termos tende a zero: limn to infty an = 0.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se os termos an = nn^2 + 1 são decrescentes. Para ver isso, comparamos an+1 com an:
an+1 = n+1(n+1)^2 + 1 = n+1n^2 + 2n + 2
À medida que n aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então an+1 < an. Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: se o limite dos termos tende a zero.
limn to infty nn^2 + 1
Dividindo numerador e denominador por n^2:
limn to infty nn^2n^2n^2 + 1n^2 = limn to infty 1n1 + 1n^2 = 0
Então, o limite dos termos é zero.

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=3^infty (-1)^n nn^2+1 converge.

Exercícios relacionados