Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre séries alternadas e os testes de convergência. A gente vai precisar usar o Teste da Série Alternada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo
, que alterna os sinais dos termos positivos e negativos conforme
aumenta. Séries alternadas seguem a forma geral
, onde
é uma sequência de termos positivos.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: para todo grande o suficiente. - O limite dos termos tende a zero:
.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: se os termos
são decrescentes. Para ver isso, comparamos
com
:
À medida que
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então
. Portanto, os termos são decrescentes.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição: se o limite dos termos tende a zero.
Dividindo numerador e denominador por
:
Então, o limite dos termos é zero.
Passo 6
Como as duas condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
а) ;
а)
Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial
é um campo gradiente.
a)
a)
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
c)
c)