Dê dois exemplos que justifiquem porque não é suficiente que lim n infty an= 0 para que uma série seja convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar dois exemplos que mostram por que só ter o limite lim n infty an = 0 não garante que uma série vai convergir. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, onde a gente soma infinitos termos e quer saber se essa soma tem um valor finito ou não. Para resolver, vamos lembrar de alguns testes de convergência e escolher exemplos que mostram essa situação.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o Teste da Divergência, também conhecido como Teste de Termo Nulo. Esse teste diz que se limn infty an neq 0, a série sum an não converge. Mas o contrário não é necessariamente verdadeiro: mesmo que limn infty an = 0, a série pode convergir ou divergir. Ou seja, ter o termo indo a zero é necessário, mas não suficiente para a convergência da série.

Passo 3

Agora, vamos buscar dois exemplos onde limn infty an = 0, mas a série sum an diverge. Um exemplo clássico é a Série Harmônica:
sumn=1^infty 1n
Aqui, cada termo 1n tende a zero quando n vai para o infinito, ou seja, limn infty 1n = 0. Mas, apesar disso, a série não converge; ela diverge para o infinito. Isso porque os termos diminuem muito lentamente para que a soma se estabilize.

Passo 4

Vamos para o segundo exemplo. Considere a série:
sumn=1^infty (-1)^nraizn
Aqui, cada termo (-1)^nraizn também tende a zero, já que limn infty 1raizn = 0. No entanto, essa série também não converge absolutamente. Embora seja uma série alternada, ela não satisfaz o Critério de Leibniz para séries alternadas porque os termos não são decrescentes em módulo de forma suficiente, e a série não converge condicionalmente também.

Resposta

Dois exemplos que mostram que lim n infty an = 0 não é suficiente para a convergência da série são:
  1. Série Harmônica: sumn=1^infty 1n diverge mesmo porque os termos tendem a zero muito lentamente.
  2. Série Alternada com termos não decrescentes adequadamente: sumn=1^infty (-1)^nraizn também diverge apesar de os termos tenderem a zero.

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