Dê dois exemplos que justifiquem porque não é suficiente que 0 para que uma série seja convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar dois exemplos que mostram por que só ter o limite não garante que uma série vai convergir. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, onde a gente soma infinitos termos e quer saber se essa soma tem um valor finito ou não. Para resolver, vamos lembrar de alguns testes de convergência e escolher exemplos que mostram essa situação.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o Teste da Divergência, também conhecido como Teste de Termo Nulo. Esse teste diz que se , a série não converge. Mas o contrário não é necessariamente verdadeiro: mesmo que , a série pode convergir ou divergir. Ou seja, ter o termo indo a zero é necessário, mas não suficiente para a convergência da série.

Passo 3

Agora, vamos buscar dois exemplos onde , mas a série diverge. Um exemplo clássico é a Série Harmônica:
Aqui, cada termo tende a zero quando vai para o infinito, ou seja, . Mas, apesar disso, a série não converge; ela diverge para o infinito. Isso porque os termos diminuem muito lentamente para que a soma se estabilize.

Passo 4

Vamos para o segundo exemplo. Considere a série:
Aqui, cada termo também tende a zero, já que . No entanto, essa série também não converge absolutamente. Embora seja uma série alternada, ela não satisfaz o Critério de Leibniz para séries alternadas porque os termos não são decrescentes em módulo de forma suficiente, e a série não converge condicionalmente também.

Resposta

Dois exemplos que mostram que não é suficiente para a convergência da série são:
  1. Série Harmônica: diverge mesmo porque os termos tendem a zero muito lentamente.
  2. Série Alternada com termos não decrescentes adequadamente: também diverge apesar de os termos tenderem a zero.

Exercícios relacionados

Diga se converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge a série
Mostre que , e explique porque tal quebra não nos mostra que a série é telescópica.
Explique porque a série é divergente.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.