Dê dois exemplos que justifiquem porque não é suficiente que
0 para que uma série seja convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar dois exemplos que mostram por que só ter o limite
não garante que uma série vai convergir. Isso está ligado ao estudo de séries infinitas, onde a gente soma infinitos termos e quer saber se essa soma tem um valor finito ou não. Para resolver, vamos lembrar de alguns testes de convergência e escolher exemplos que mostram essa situação.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o Teste da Divergência, também conhecido como Teste de Termo Nulo. Esse teste diz que se
, a série
não converge. Mas o contrário não é necessariamente verdadeiro: mesmo que
, a série pode convergir ou divergir. Ou seja, ter o termo indo a zero é necessário, mas não suficiente para a convergência da série.
Passo 3
Agora, vamos buscar dois exemplos onde
, mas a série
diverge. Um exemplo clássico é a Série Harmônica:
Aqui, cada termo
tende a zero quando
vai para o infinito, ou seja,
. Mas, apesar disso, a série não converge; ela diverge para o infinito. Isso porque os termos diminuem muito lentamente para que a soma se estabilize.
Passo 4
Vamos para o segundo exemplo. Considere a série:
Aqui, cada termo
também tende a zero, já que
. No entanto, essa série também não converge absolutamente. Embora seja uma série alternada, ela não satisfaz o Critério de Leibniz para séries alternadas porque os termos não são decrescentes em módulo de forma suficiente, e a série não converge condicionalmente também.
Resposta
Dois exemplos que mostram que
não é suficiente para a convergência da série são:
- Série Harmônica:
diverge mesmo porque os termos tendem a zero muito lentamente. - Série Alternada com termos não decrescentes adequadamente:
também diverge apesar de os termos tenderem a zero.
Exercícios relacionados
Diga se converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge a série
Mostre que
, e explique porque tal quebra não nos mostra que a série
é telescópica.
Explique porque a série
é divergente.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.