Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma sequência para analisar:
. A ideia é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico) ou diverge (se ela não se estabiliza e vai para o infinito ou menos infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observando
, podemos dividir o numerador e o denominador por
para facilitar a análise quando
tende ao infinito:
Quando
fica bem grande,
e
vão para zero, então a fração se aproxima de
. Mas temos que levar em conta a potência
, que também cresce com
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a sequência para facilitar o cálculo do limite:
Isso porque
. Agora, reconhecemos uma forma semelhante à definição de
, onde
tende a
quando
cresce.
Passo 4
Aplicando essa ideia, temos que:
Quando
é grande,
tende a
e
tende a
. Portanto, a sequência se aproxima de
.
Passo 5
Mas, vamos verificar com mais cuidado. O expoente
pode ser reescrito como
. Então:
Quando
vai para o infinito,
tende a
, e as demais partes tendem a
. Portanto, a sequência tende a
.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.
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