Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma sequência para analisar: . A ideia é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico) ou diverge (se ela não se estabiliza e vai para o infinito ou menos infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observando , podemos dividir o numerador e o denominador por para facilitar a análise quando tende ao infinito:
Quando fica bem grande, e vão para zero, então a fração se aproxima de . Mas temos que levar em conta a potência , que também cresce com .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a sequência para facilitar o cálculo do limite:
Isso porque . Agora, reconhecemos uma forma semelhante à definição de , onde tende a quando cresce.

Passo 4

Aplicando essa ideia, temos que:
Quando é grande, tende a e tende a . Portanto, a sequência se aproxima de .

Passo 5

Mas, vamos verificar com mais cuidado. O expoente pode ser reescrito como . Então:
Quando vai para o infinito, tende a , e as demais partes tendem a . Portanto, a sequência tende a .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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