Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Vamos resolver o problema que nos pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se ela convergir, vamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Como temos o termo
, os sinais dos termos realmente alternam entre positivo e negativo, confirmando que é uma série alternada.
Passo 3
Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Esse teste diz que, se os termos positivos
da série satisfazem duas condições:
-
é decrescente. -
tende a zero quando tende ao infinito.
Então, a série alternada
converge.
Passo 4
Aplicando o teste à nossa série, temos
. Vamos verificar as condições:
- Decrescente: À medida que
aumenta, tanto quanto aumentam, fazendo com que diminua. - Limite zero:
, já que cresce muito mais rápido que .
Passo 5
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série
é convergente.
Passo 6
Para encontrar a soma da série convergente, reconhecemos que ela se assemelha à expansão da função logarítmica. Sabemos que:
Simplificando, temos:
Resposta
A série converge e a soma é
.
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da sua altura anterior. Mostre que a distância total que você percorre até ficar em repouso é de 500 m .
(b) O valor do
é:
i.
ii.
iii.
iv.
i.
ii.
iii.
iv.