Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Vamos resolver o problema que nos pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela convergir, vamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Como temos o termo , os sinais dos termos realmente alternam entre positivo e negativo, confirmando que é uma série alternada.

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Esse teste diz que, se os termos positivos da série satisfazem duas condições:
  1. é decrescente.
  2. tende a zero quando tende ao infinito.
Então, a série alternada converge.

Passo 4

Aplicando o teste à nossa série, temos . Vamos verificar as condições:
  1. Decrescente: À medida que aumenta, tanto quanto aumentam, fazendo com que diminua.
  2. Limite zero: , já que cresce muito mais rápido que .

Passo 5

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série é convergente.

Passo 6

Para encontrar a soma da série convergente, reconhecemos que ela se assemelha à expansão da função logarítmica. Sabemos que:
Simplificando, temos:

Resposta

A série converge e a soma é .

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Imagine que você salta a uma cama elástica gigante desde uma altura de 100 m . Cada vez que você pula, você sobe até uma altura de da sua altura anterior. Mostre que a distância total que você percorre até ficar em repouso é de 500 m .
(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.