Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty (-1)^nn 3^n

Passo 1

Vamos resolver o problema que nos pede para determinar se a série sumn=1^infty (-1)^nn 3^n é convergente ou divergente. Se ela convergir, vamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Como temos o termo (-1)^n, os sinais dos termos realmente alternam entre positivo e negativo, confirmando que é uma série alternada.

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Esse teste diz que, se os termos positivos an da série satisfazem duas condições:
  1. an é decrescente.
  2. an tende a zero quando n tende ao infinito.
Então, a série alternada sum (-1)^n an converge.

Passo 4

Aplicando o teste à nossa série, temos an = 1n 3^n. Vamos verificar as condições:
  1. Decrescente: À medida que n aumenta, tanto n quanto 3^n aumentam, fazendo com que an diminua.
  2. Limite zero: limn to infty 1n 3^n = 0, já que 3^n cresce muito mais rápido que n.

Passo 5

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série sumn=1^infty (-1)^nn 3^n é convergente.

Passo 6

Para encontrar a soma da série convergente, reconhecemos que ela se assemelha à expansão da função logarítmica. Sabemos que:
sumn=1^infty (-1)^nn 3^n = -ln(1 + 13) = -ln(43)
Simplificando, temos:
-ln(43) = ln(34)

Resposta

A série converge e a soma é ln(34).

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