y' = e^x / y, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial com a condição inicial . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A equação dada é . Lembrando que é a derivada de em relação a , ou seja, . Então, temos:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e multiplicar ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral de é:
E a integral de é:
Podemos juntar as constantes e em uma única constante :

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 5

Substituindo o valor de de volta na equação, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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