Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e depois integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. A equação dada é
. Lembrando que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, temos:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
e multiplicar ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral de
é:
E a integral de
é:
Podemos juntar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Substituindo o valor de
de volta na equação, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
(b) O valor do
é:
i.
ii.
iii.
iv.
i.
ii.
iii.
iv.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
com
A seguinte equaçao diferencial aparece em trabalhos que estudam a scumulaçäo de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a regisio do plano tz onde é possivel garantir que esta equaçāo possui solugies únicas
(b) Determine a soluçäo geral da equapio
(b) Determine a soluçäo geral da equapio