Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial com a condição inicial . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A equação dada é . Lembrando que é a derivada de em relação a , ou seja, . Então, temos:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e multiplicar ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral de é:
E a integral de é:
Podemos juntar as constantes e em uma única constante :

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 5

Substituindo o valor de de volta na equação, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

Exercícios relacionados

(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
com
A seguinte equaçao diferencial aparece em trabalhos que estudam a scumulaçäo de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a regisio do plano tz onde é possivel garantir que esta equaçāo possui solugies únicas
(b) Determine a soluçäo geral da equapio