(b) O valor do
é:
i.
ii.
iii.
iv.
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
vai para o infinito da soma
. Isso tá ligado a conceitos de limites e somas, e vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente a ideia de soma de Riemann para transformar a soma em uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da soma:
. Quando
cresce muito, tanto
quanto
ficam grandes, mas a gente pode simplificar dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
:
Assim, a soma fica:
Passo 3
Agora, perceba que quando
tende ao infinito, a soma se aproxima de uma integral definida. Essa é a ideia das somas de Riemann, onde
vira uma variável contínua
que varia de 0 a 1, e
é como o “passo” da soma. Então, podemos escrever:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
A resposta correta é:
ii.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
com