(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando vai para o infinito da soma . Isso tá ligado a conceitos de limites e somas, e vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente a ideia de soma de Riemann para transformar a soma em uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da soma: . Quando cresce muito, tanto quanto ficam grandes, mas a gente pode simplificar dividindo tanto o numerador quanto o denominador por :
Assim, a soma fica:

Passo 3

Agora, perceba que quando tende ao infinito, a soma se aproxima de uma integral definida. Essa é a ideia das somas de Riemann, onde vira uma variável contínua que varia de 0 a 1, e é como o “passo” da soma. Então, podemos escrever:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então ou . Substituindo na integral:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

A resposta correta é:
ii.

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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
com