(b) O valor do lim n infty sumk=0^n kk^2+n^2 é:
i. 14 ln 2
ii. 12 ln 2
iii. ln 2
iv. 2 ln 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando vai para o infinito da soma . Isso tá ligado a conceitos de limites e somas, e vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente a ideia de soma de Riemann para transformar a soma em uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da soma: kk^2 + n^2 = kn^2k^2n^2 + 1 = kn (kn)^2 + 1 cdot 1n . Quando sumk=0^n kk^2 + n^2 = sumk=0^n kn (kn)^2 + 1 cdot 1n cresce muito, tanto quanto ficam grandes, mas a gente pode simplificar dividindo tanto o numerador quanto o denominador por :
Assim, a soma fica:

Passo 3

Agora, perceba que quando limn to infty sumk=0^n kk^2 + n^2 = integral0^1 xx^2 + 1 , dx tende ao infinito, a soma se aproxima de uma integral definida. Essa é a ideia das somas de Riemann, onde vira uma variável contínua que varia de 0 a 1, e é como o “passo” da soma. Então, podemos escrever:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja integral xx^2 + 1 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln |u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C , então [ 12 ln(x^2 + 1) ]0^1 = 12 ln(2) - 12 ln(1) = 12 ln 2 ou . Substituindo na integral:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

A resposta correta é:
ii.

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