Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema. A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dessa série. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre Séries Infinitas e o Teste da Divergência.
Passo 2
Vamos começar analisando o comportamento geral dos termos da série. O termo geral é
. Para entender se a série converge ou não, é importante ver o que acontece com esse termo quando
fica muito grande, ou seja, tendendo ao infinito.
Passo 3
Observando o termo
, percebemos que
cresce muito mais rápido que
conforme
aumenta. Assim, tanto no numerador quanto no denominador, o termo
vai dominar.
Passo 4
Vamos simplificar o termo dividindo o numerador e o denominador por
:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0, porque
.
Passo 5
Então, o limite do termo geral é:
Isso significa que, conforme
aumenta, cada termo da série tende a
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral
não é igual a zero, então a série
diverge. No nosso caso, o limite é
, que claramente não é zero.
Resposta
Portanto, a série
diverge.