Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty 3^n-5^n3^n+5^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dessa série. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre Séries Infinitas e o Teste da Divergência.

Passo 2

Vamos começar analisando o comportamento geral dos termos da série. O termo geral é . Para entender se a série converge ou não, é importante ver o que acontece com esse termo quando fica muito grande, ou seja, tendendo ao infinito.

Passo 3

Observando o termo , percebemos que cresce muito mais rápido que conforme aumenta. Assim, tanto no numerador quanto no denominador, o termo vai dominar.

Passo 4

Vamos simplificar o termo dividindo o numerador e o denominador por 3^n-5^n3^n+5^n = (35)^n - 1(35)^n + 1 :
Quando tende ao infinito, tende a 0, porque .

Passo 5

Então, o limite do termo geral é:
limn to infty (35)^n - 1(35)^n + 1 = 0 - 10 + 1 = -1
Isso significa que, conforme aumenta, cada termo da série tende a .

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral não é igual a zero, então a série diverge. No nosso caso, o limite é , que claramente não é zero.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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