(a) Encontre as aproximações
para
.
(b) Mostre que, se
, então
.
(b) Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem dois exercícios aqui relacionados a encontrar aproximações para a raiz quadrada de 10 e demonstrar algo sobre o limite de uma sequência. Isso envolve conceitos de sequências numéricas e limites, que são partes da matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as sequências funcionam e como calcular seus termos passo a passo até chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: Encontrar as aproximações
para
.
Para isso, provavelmente estamos usando um método iterativo para aproximar a raiz quadrada, como o Método de Newton-Raphson. Esse método começa com uma estimativa inicial e melhora essa estimativa em cada passo usando a fórmula:
Aqui,
porque estamos buscando
.
Passo 3
Vamos definir nosso primeiro termo
. Uma boa estimativa inicial para
é 3, porque
, que está perto de 10.
Agora, usamos a fórmula para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando
:
Passo 5
Continuando, calculamos
usando
:
Interessante! Já parece que estamos chegando perto da precisão.
Passo 6
Vamos ainda calcular
usando
:
Percebeu que o valor está se estabilizando. Vamos confirmar com
.
Passo 7
Finalmente, calculando
usando
:
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): Mostrar que, se
, então
.
Vamos usar a definição de limite para sequências. Se a sequência
converge para algum limite
, então esse limite deve satisfazer a mesma relação que a sequência segue.
Como nossa fórmula é:
Tomando o limite dos dois lados quando
vai para o infinito:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Mostramos que o limite
da sequência
é igual a
.
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
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em
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