(a) Encontre as aproximações u2, u3, u4, u5, u6 para raiz10.
(b) Mostre que, se L=lim n infty un, então L=raizk.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois exercícios aqui relacionados a encontrar aproximações para a raiz quadrada de 10 e demonstrar algo sobre o limite de uma sequência. Isso envolve conceitos de sequências numéricas e limites, que são partes da matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as sequências funcionam e como calcular seus termos passo a passo até chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: Encontrar as aproximações un+1 = 12 ( un + 10un ) para .
Para isso, provavelmente estamos usando um método iterativo para aproximar a raiz quadrada, como o Método de Newton-Raphson. Esse método começa com uma estimativa inicial e melhora essa estimativa em cada passo usando a fórmula:
Aqui, porque estamos buscando .

Passo 3

Vamos definir nosso primeiro termo u1 = 3 . Uma boa estimativa inicial para u2 = 12 ( u1 + 10u1 ) = 12 ( 3 + 103 ) = 12 ( 3 + 33 ) = 12 times 63 = 3.1667 é 3, porque , que está perto de 10.
Agora, usamos a fórmula para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos calcular u3 = 12 ( 3.1667 + 103.1667 ) approx 12 ( 3.1667 + 3.1579 ) = 12 times 6.3246 = 3.1623 usando :

Passo 5

Continuando, calculamos u4 = 12 ( 3.1623 + 103.1623 ) approx 12 ( 3.1623 + 3.1623 ) = 12 times 6.3246 = 3.1623 usando :
Interessante! Já parece que estamos chegando perto da precisão.

Passo 6

Vamos ainda calcular u5 = 12 ( 3.1623 + 103.1623 ) approx 12 ( 3.1623 + 3.1623 ) = 12 times 6.3246 = 3.1623 usando :
Percebeu que o valor está se estabilizando. Vamos confirmar com .

Passo 7

Finalmente, calculando u6 = 12 ( 3.1623 + 103.1623 ) approx 12 ( 3.1623 + 3.1623 ) = 12 times 6.3246 = 3.1623 usando :

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): Mostrar que, se un+1 = 12 ( un + kun ) , então L = 12 ( L + kL ) .
Vamos usar a definição de limite para sequências. Se a sequência 2L = L + kL converge para algum limite L = kL , então esse limite deve satisfazer a mesma relação que a sequência segue.
Como nossa fórmula é:
L^2 = k
Tomando o limite dos dois lados quando L = raizk vai para o infinito:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Mostramos que o limite da sequência é igual a .

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