Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: c) Mostre que g(x) = x^2 - 1 divide f(x) = x^9 - x^7 - x^6 - x^5 + x^4 + x^3 + x^2 - 1 em R[x]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois polinômios:
Queremos mostrar que divide no conjunto dos polinômios com coeficientes reais, ou seja, em . Para isso, vamos usar o Teorema do Resto, que nos ajuda a verificar se um polinômio divide outro sem deixar resto.

Passo 2

O Teorema do Resto diz que se dividirmos por , o resto será igual a onde é uma raiz de . Então, para , encontramos as raízes resolvendo :

Passo 3

Agora, vamos calcular e para verificar se ambos resultam em zero. Se sim, isso significa que e são raízes de , e portanto, divide .

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Resposta

Como e , isso confirma que divide em .

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