a) Determine todos os polinômios de grau-2 que sejam irredutíveis sobre

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrarmos todos os polinômios de grau 2 que são irredutíveis sobre . Isso significa que queremos polinômios quadráticos que não podem ser fatorados em polinômios de grau menor em . Para resolver isso, vamos precisar saber quais polinômios de segundo grau não têm raízes em .

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os polinômios de grau 2 sobre . Um polinômio de grau 2 tem a forma , onde são elementos de e . Como pode ser 1 ou 2, e e podem ser 0, 1 ou 2, temos um total de polinômios possíveis.

Passo 3

No entanto, para simplificar, podemos considerar apenas os polinômios monicos, onde . Isso reduz o número para polinômios. Vamos listar esses polinômios:

Passo 4

Agora, vamos verificar quais desses polinômios não têm raízes em . Se um polinômio de grau 2 não tem raízes em , ele é irredutível sobre .
Vamos testar cada polinômio substituindo e ver se o resultado é zero:
  1. :
    • : → raiz.
  2. :
    • :
    • :
    • :
    • Nenhuma raiz.
  3. :
    • :
    • : → raiz.
  4. :
    • : → raiz.
  5. :
    • :
    • : → raiz.
  6. :
    • :
    • :
    • :
    • Nenhuma raiz.
  7. :
    • : → raiz.
  8. :
    • :
    • :
    • : → raiz.
  9. :
    • :
    • :
    • :
    • Nenhuma raiz.

Resposta

Os polinômios de grau 2 irredutíveis sobre são:

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Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: c) Mostre que divide em
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(b) Mostre que, se , então .
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Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. d) ( ) Seja um corpo e . Se e são irredutíveis em