a) Determine todos os polinômios de grau-2 que sejam irredutíveis sobre
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrarmos todos os polinômios de grau 2 que são irredutíveis sobre
. Isso significa que queremos polinômios quadráticos que não podem ser fatorados em polinômios de grau menor em
. Para resolver isso, vamos precisar saber quais polinômios de segundo grau não têm raízes em
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os polinômios de grau 2 sobre
. Um polinômio de grau 2 tem a forma
, onde
são elementos de
e
. Como
pode ser 1 ou 2, e
e
podem ser 0, 1 ou 2, temos um total de
polinômios possíveis.
Passo 3
No entanto, para simplificar, podemos considerar apenas os polinômios monicos, onde
. Isso reduz o número para
polinômios. Vamos listar esses polinômios:
Passo 4
Agora, vamos verificar quais desses polinômios não têm raízes em
. Se um polinômio de grau 2 não tem raízes em
, ele é irredutível sobre
.
Vamos testar cada polinômio substituindo
e ver se o resultado é zero:
-
: -
: → raiz.
-
-
: -
: -
: -
: - Nenhuma raiz.
-
-
: -
: -
: → raiz.
-
-
: -
: → raiz.
-
-
: -
: -
: → raiz.
-
-
: -
: -
: -
: - Nenhuma raiz.
-
-
: -
: → raiz.
-
-
: -
: -
: -
: → raiz.
-
-
: -
: -
: -
: - Nenhuma raiz.
-
Resposta
Os polinômios de grau 2 irredutíveis sobre
são:
Exercícios relacionados
Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: c) Mostre que
divide
em
(a) Encontre as aproximações
para
.
(b) Mostre que, se , então
.
(b) Mostre que, se
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. d) ( ) Seja
um corpo e
. Se
e
são irredutíveis em