Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=0^infty(pie)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular a soma dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série dada é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty r^n
onde é a razão da série. No nosso caso, a razão é .

Passo 3

Para saber se uma série geométrica converge ou diverge, observamos o valor absoluto da razão pie approx 3,14162,7183 approx 1,1557 :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Vamos calcular o valor de :

Passo 4

Agora, verificamos o valor absoluto da razão:
|pie| approx 1,1557
Como , isso nos indica que .

Passo 5

De acordo com o critério das séries geométricas, como , a série diverge. Portanto, não há uma soma finita para essa série.

Resposta

A série diverge.

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