Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a sequência
é convergente ou divergente. Se convergente, também precisamos achar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de sequências e funções trigonométricas, especificamente a função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com
conforme
aumenta. Sabemos que
é aproximadamente 3,14159, e o cosseno de múltiplos de
tem valores específicos:
-
-
-
- E assim por diante…
Passo 3
Observando os valores, vemos que a sequência alterna entre -1 e 1 à medida que
aumenta. Então, temos:
Passo 4
Para uma sequência ser convergente, ela precisa se aproximar de um único valor à medida que
cresce. No nosso caso, a sequência não está se aproximando de nenhum valor específico; ela está constantemente mudando entre -1 e 1. Isso significa que não existe um único valor para o qual a sequência está se aproximando.
Resposta
A sequência
é divergente.
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Mostre que as sequências
e
divergem; porém, a sequência
é convergente. Compare com as propriedades de limites de sequência. Qual sua conclusão?