Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência
converge ou diverge, e se ela converge, qual é o seu limite. Vamos usar conceitos de limites de sequências e aplicar algumas técnicas de cálculo para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor à medida que “n” cresce sem limite. Caso contrário, ela é divergente.
Passo 3
Para descobrir se a sequência
converge, precisamos calcular o limite quando “n” tende ao infinito:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador à medida que “n” cresce:
- Numerador:
cresce sem limite, mas muito lentamente. - Denominador:
cresce rapidamente.
Como o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração inteira tende a zero. Para confirmar isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos um limite da forma
.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Portanto, o limite é zero.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.
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