Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e algebra de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série:
Vamos lidar com o denominador
. Podemos reescrever isso como:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que:
Substituindo na expressão, temos:
Passo 4
Vamos simplificar
. Observe que
, então:
Substituindo, temos:
Portanto, a expressão passa a ser:
Passo 5
Agora, a série fica:
Podemos fatorar o
que é constante:
Passo 6
Essa é uma série geométrica da forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Sabemos que uma série geométrica converge se
. Aqui,
e
, então a série é convergente.
Passo 7
Para encontrar a soma da série geométrica
, usamos a fórmula:
Nesse caso,
e
, então:
Passo 8
Agora, lembrando que fatoramos o
no começo, a soma total da série original é:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é
.
Exercícios relacionados
Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado
(a) A série geométrica
( ) diverge
( ) converge para
( ) converge para
( ) converge para
converge para
( ) diverge
( ) converge para
( ) converge para
( ) converge para
(a)
Efetue