Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=2^infty 3^-2 n(-6)^4-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e algebra de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série:
3^-2n(-6)^4-n
Vamos lidar com o denominador (-6)^4-n = (-6)^4 cdot (-6)^-n = 1296 cdot (-6)^-n . Podemos reescrever isso como:
3^-2n1296 cdot (-6)^-n = 3^-2n1296 cdot (-6)^n
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar (-6)^n = (-1)^n cdot 6^n . Sabemos que:
3^-2n1296 cdot (-1)^n cdot 6^n = (-1)^n cdot 6^n cdot 3^-2n1296
Substituindo na expressão, temos:

Passo 4

Vamos simplificar 6^n = (2 cdot 3)^n = 2^n cdot 3^n . Observe que 2^n cdot 3^n cdot 3^-2n = 2^n cdot 3^-n , então:
(-1)^n cdot 2^n cdot 3^-n1296 = (-1)^n (23)^n1296
Substituindo, temos:
Portanto, a expressão passa a ser:

Passo 5

Agora, a série fica:
sumn=2^infty (-1)^n (23)^n1296
Podemos fatorar o 11296 sumn=2^infty (-23)^n que é constante:

Passo 6

Essa é uma série geométrica da forma , onde é o primeiro termo e é a razão.
Sabemos que uma série geométrica converge se . Aqui, e , então a série é convergente.

Passo 7

Para encontrar a soma da série geométrica sumn=k^infty ar^n = ar^k1 - r , usamos a fórmula:
sumn=2^infty (-23)^n = (-23)^21 - (-23) = 491 + 23 = 4953 = 49 cdot 35 = 1245 = 415
Nesse caso, e , então:

Passo 8

Agora, lembrando que fatoramos o 11296 cdot 415 = 419440 = 14860 no começo, a soma total da série original é:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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