Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e algebra de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série:
Vamos lidar com o denominador . Podemos reescrever isso como:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Sabemos que:
Substituindo na expressão, temos:

Passo 4

Vamos simplificar . Observe que , então:
Substituindo, temos:
Portanto, a expressão passa a ser:

Passo 5

Agora, a série fica:
Podemos fatorar o que é constante:

Passo 6

Essa é uma série geométrica da forma , onde é o primeiro termo e é a razão.
Sabemos que uma série geométrica converge se . Aqui, e , então a série é convergente.

Passo 7

Para encontrar a soma da série geométrica , usamos a fórmula:
Nesse caso, e , então:

Passo 8

Agora, lembrando que fatoramos o no começo, a soma total da série original é:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

Exercícios relacionados

Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado
(a) A série geométrica
( ) diverge
( ) converge para
( ) converge para
( ) converge para
converge para
(a)
Efetue