(a) A série geométrica
( ) diverge
( ) converge para
( ) converge para
( ) converge para
converge para

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma série geométrica que vai assim: . A matéria que vamos usar é a das séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Precisamos identificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, encontrar o valor para o qual ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como identificar uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral: , onde é o primeiro termo e é a razão entre os termos consecutivos.

Passo 3

Vamos identificar o primeiro termo da nossa série. Olhando para a série dada, o primeiro termo é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a razão . A razão é obtida dividindo qualquer termo pelo termo anterior. Por exemplo, dividindo o segundo termo pelo primeiro: . Então, .

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, a razão precisa ter valor absoluto menor que 1, ou seja, . Vamos verificar isso: . Como , a série converge.

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que converge é:
Onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:

Passo 8

Simplificando a fração :

Resposta

A série geométrica converge para .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de segunda ordem de .
constante
Divisão e racionalização de denominadores de radicais
Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.