(a) A série geométrica
( ) diverge
( ) converge para
( ) converge para
( ) converge para
converge para
( ) diverge
( ) converge para
( ) converge para
( ) converge para
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma série geométrica que vai assim:
. A matéria que vamos usar é a das séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Precisamos identificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, encontrar o valor para o qual ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como identificar uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
, onde
é o primeiro termo e
é a razão entre os termos consecutivos.
Passo 3
Vamos identificar o primeiro termo
da nossa série. Olhando para a série dada, o primeiro termo é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a razão
. A razão é obtida dividindo qualquer termo pelo termo anterior. Por exemplo, dividindo o segundo termo pelo primeiro:
. Então,
.
Passo 5
Para uma série geométrica convergir, a razão
precisa ter valor absoluto menor que 1, ou seja,
. Vamos verificar isso:
. Como
, a série converge.
Passo 6
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que converge é:
Onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 7
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 8
Simplificando a fração
:
Resposta
A série geométrica converge para
.
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.
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