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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente analisar a soma infinita . Esse tipo de problema está dentro do estudo das séries infinitas, que são somas que continuam indefinidamente. Vamos precisar usar testes de convergência para descobrir se essa série chega a um número finito ou se ela cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um valor finito conforme a gente adiciona mais e mais termos. Caso contrário, ela diverge, ou seja, a soma fica cada vez maior sem parar.

Passo 3

Para determinar se nossa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste compara nossa série com outra série que a gente já sabe se convergem ou não.

Passo 4

Observando os termos da nossa série, vemos que para valores grandes de , cresce muito mais rápido que 50. Então, é aproximadamente igual a . Assim, o termo se aproxima de .

Passo 5

A série é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se . Como , essa série geométrica diverge.

Passo 6

Como nossa série original se comporta de maneira semelhante a uma série que já sabemos que diverge, pelo Teste da Comparação, podemos concluir que a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado
Efetue
Calcule as expressões