(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente analisar a soma infinita
. Esse tipo de problema está dentro do estudo das séries infinitas, que são somas que continuam indefinidamente. Vamos precisar usar testes de convergência para descobrir se essa série chega a um número finito ou se ela cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um valor finito conforme a gente adiciona mais e mais termos. Caso contrário, ela diverge, ou seja, a soma fica cada vez maior sem parar.
Passo 3
Para determinar se nossa série
converge ou diverge, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste compara nossa série com outra série que a gente já sabe se convergem ou não.
Passo 4
Observando os termos da nossa série, vemos que para valores grandes de
,
cresce muito mais rápido que 50. Então,
é aproximadamente igual a
. Assim, o termo
se aproxima de
.
Passo 5
A série
é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se
e diverge se
. Como
, essa série geométrica diverge.
Passo 6
Como nossa série original se comporta de maneira semelhante a uma série que já sabemos que diverge, pelo Teste da Comparação, podemos concluir que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado
Efetue
Calcule as expressões