(h) integral0^pi / 3 sen^2(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas ao quadrado. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que ajuda a simplificar sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 :
Essa identidade é útil porque transforma uma função ao quadrado em uma combinação de funções mais simples.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa identidade à nossa integral. Substituindo sin^2(3x) = 1 - cos(6x)2 pela expressão equivalente:
integral0^pi / 3 sin^2(3x) , dx = integral0^pi / 3 1 - cos(6x)2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral dividindo pelos termos:
integral0^pi / 3 12 , dx - integral0^pi / 3 cos(6x)2 , dx
Isso fica:
12 integral0^pi / 3 1 , dx - 12 integral0^pi / 3 cos(6x) , dx

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a integral de 1 em relação a 12 integral0^pi / 3 1 , dx = 12 [ x ]0^pi / 3 = 12 ( pi3 - 0 ) = pi6 :

Passo 6

Agora, vamos integrar integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C . Sabemos que:
12 integral0^pi / 3 cos(6x) , dx = 12 [ sin(6x)6 ]0^pi / 3 = 112 ( sin(2pi) - sin(0) )
Aplicando isso:
Sabemos que e , então essa parte é zero.

Passo 7

Juntando as duas partes:
pi6 - 0 = pi6

Resposta

O valor da integral é .

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