Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que se apresenta assim:
Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos precisar entender as séries geométricas e como somar termos que seguem essa estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Vamos reescrever o numerador e o denominador:
Multiplicando o numerador e o denominador por 25 para eliminar a fração no denominador:

Passo 3

Agora, temos a série dividida em duas partes:
Podemos separar a série em duas séries geométricas:

Passo 4

Vamos lembrar que uma série geométrica converge se a razão e sua soma é dada por .
Aplicando isso às nossas séries:
Para a primeira série:
Para a segunda série:

Passo 5

Calculando a soma da primeira série:
Agora, calculando a soma da segunda série:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas séries:
Convertendo para decimal:
Então:

Resposta

A série converge e a soma é aproximadamente .

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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
d) ;
Simplifique a expressão:
Prove que