Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty (2^n+3-3^4+n)5^n-2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que se apresenta assim:
sumn=1^infty 2^n+3 - 3^n+45^n-2
Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos precisar entender as séries geométricas e como somar termos que seguem essa estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Vamos reescrever o numerador e o denominador:
2^n+3 - 3^n+45^n-2 = 2^3 cdot 2^n - 3^4 cdot 3^n5^-2 cdot 5^n = 8 cdot 2^n - 81 cdot 3^n125 cdot 5^n
Multiplicando o numerador e o denominador por 25 para eliminar a fração no denominador:
= 25 cdot 8 cdot 2^n - 81 cdot 3^n5^n = 200 cdot ( 25 )^n - 2025 cdot ( 35 )^n

Passo 3

Agora, temos a série dividida em duas partes:
sumn=1^infty [ 200 cdot ( 25 )^n - 2025 cdot ( 35 )^n ]
Podemos separar a série em duas séries geométricas:
200 sumn=1^infty ( 25 )^n - 2025 sumn=1^infty ( 35 )^n

Passo 4

Vamos lembrar que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se a razão |r| < 1 e sua soma é dada por S = ar1 - r.
Aplicando isso às nossas séries:
Para a primeira série:
  • a = 200
  • r = 25
Para a segunda série:
  • a = -2025
  • r = 35

Passo 5

Calculando a soma da primeira série:
S1 = 200 cdot 251 - 25 = 200 cdot 2535 = 200 cdot 23 = 4003
Agora, calculando a soma da segunda série:
S2 = -2025 cdot 351 - 35 = -2025 cdot 3525 = -2025 cdot 32 = -3037.5

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas séries:
S = S1 + S2 = 4003 - 3037.5
Convertendo 4003 para decimal:
4003 approx 133.33
Então:
S approx 133.33 - 3037.5 = -2904.17

Resposta

A série converge e a soma é aproximadamente -2904,17.

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