Prove que

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que . Aqui, estamos trabalhando com identidades trigonométricas, que são igualdades envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições de e e usar algumas identidades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada função trigonométrica envolvida. A função é a cosecante de e é definida como o inverso do seno:
Já a função é a cotangente de , definida como o cosseno dividido pelo seno:

Passo 3

Agora, vamos elevar essas funções ao quadrado conforme na expressão que queremos provar:

Passo 4

Substituindo e na expressão original, temos:
Como os denominadores são iguais, podemos combinar os numeradores:

Passo 5

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica fundamental, que diz que:
Podemos rearranjar essa identidade para obter:

Passo 6

Substituindo por na nossa expressão, ficamos com:

Resposta

Portanto, provamos que .

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Simplifique a expressão:
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Simplifique:
Resolva a equação trigonométrica: