Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumj=2^infty (-1)^-j 2^2 j6^j+3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumj=2^infty (-1)^-j cdot 2^2j6^j+3
Queremos determinar se essa série converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e séries alternadas.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Primeiro, vamos simplificar (-1)^-j = 1(-1)^j = (-1)^j :
sumj=2^infty (-1)^j cdot 2^2j6^j+3
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar os termos com potências. Sabemos que sumj=2^infty (-1)^j cdot 4^j6^j cdot 216 = 1216 sumj=2^infty ( 46 )^j (-1)^j e 1216 sumj=2^infty ( -23 )^j . Substituindo isso na série:
Simplificando para :

Passo 4

Reconhecemos que temos uma série geométrica com razão sumj=0^infty r^j = 11 - r se |r| < 1 . A soma de uma série geom��trica infinita é dada por:
Aqui, , então a série converge.

Passo 5

Vamos calcular a soma da série completa começando de sumj=0^infty ( -23 )^j = 11 - ( -23 ) = 11 + 23 = 153 = 35 :

Passo 6

Como nossa série original começa em ( -23 )^0 = 1 , precisamos subtrair os dois primeiros termos (quando ( -23 )^1 = -23 e 35 - 1 + 23 = 35 - 55 + 23 = -25 + 23 = -6 + 1015 = 415 ) da soma total:
Para :
Para :
Então, a soma a partir de é:

Passo 7

Agora, lembrando que tínhamos fatorado 1216 cdot 415 = 43240 = 1810 , multiplicamos esse valor pela soma encontrada:

Resposta

A série converge e a soma da série é .

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