Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
Queremos determinar se essa série converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e séries alternadas.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Primeiro, vamos simplificar
:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar os termos com potências. Sabemos que
e
. Substituindo isso na série:
Simplificando
para
:
Passo 4
Reconhecemos que temos uma série geométrica com razão
. A soma de uma série geom��trica infinita é dada por:
Aqui,
, então a série converge.
Passo 5
Vamos calcular a soma da série completa começando de
:
Passo 6
Como nossa série original começa em
, precisamos subtrair os dois primeiros termos (quando
e
) da soma total:
Para
:
Para
:
Então, a soma a partir de
é:
Passo 7
Agora, lembrando que tínhamos fatorado
, multiplicamos esse valor pela soma encontrada:
Resposta
A série converge e a soma da série é
.