Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que
. Esse exercício envolve trigonometria, especificamente as identidades trigonométricas básicas. Para resolver isso, vamos usar as definições de
e
em termos de
e
, além de manipular as expressões para simplificar e chegar à igualdade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições das funções trigonométricas envolvidas:
-
é o inverso do cosseno, ou seja, . -
é o seno sobre o cosseno, então .
Vamos substituir essas definições na expressão original.
Passo 3
Substituindo
por
, temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Para unificar os termos, vamos colocar as expressões sobre o mesmo denominador:
Para subtrair, precisamos ter o mesmo denominador:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que
, que é uma identidade trigonométrica fundamental. Observe que:
No entanto, para facilitar a simplificação, vamos utilizar a identidade
diretamente.
Passo 6
Reescrevendo a expressão anterior:
Mas isso complica mais a expressão. Vamos voltar um passo e aplicar a identidade de maneira mais direta.
Passo 7
Voltando ao passo 4:
Isso não está nos levando diretamente à expressão desejada. Vamos tentar outra abordagem começando do passo 3.
Passo 8
Retomando do passo 3:
Podemos escrever
como
para ter o mesmo denominador:
Passo 9
Agora, aplicando a identidade
:
E podemos reescrever
como
:
Passo 10
Lembrando que
, temos:
Resposta
Portanto, provamos que
.
Exercícios relacionados
Encontre uma expressão equivalente para
em termos de
e
Fazer o indicado em cada item:
(a) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
(a) O valor do
i.
ii.
iii.
iv.
(b) O valor do
i.
ii.
iii.
iv.