Prove que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que . Esse exercício envolve trigonometria, especificamente as identidades trigonométricas básicas. Para resolver isso, vamos usar as definições de e em termos de e , além de manipular as expressões para simplificar e chegar à igualdade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das funções trigonométricas envolvidas:
  • é o inverso do cosseno, ou seja, .
  • é o seno sobre o cosseno, então .
Vamos substituir essas definições na expressão original.

Passo 3

Substituindo por , temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Para unificar os termos, vamos colocar as expressões sobre o mesmo denominador:
Para subtrair, precisamos ter o mesmo denominador:

Passo 5

Agora, vamos lembrar que , que é uma identidade trigonométrica fundamental. Observe que:
No entanto, para facilitar a simplificação, vamos utilizar a identidade diretamente.

Passo 6

Reescrevendo a expressão anterior:
Mas isso complica mais a expressão. Vamos voltar um passo e aplicar a identidade de maneira mais direta.

Passo 7

Voltando ao passo 4:
Isso não está nos levando diretamente à expressão desejada. Vamos tentar outra abordagem começando do passo 3.

Passo 8

Retomando do passo 3:
Podemos escrever como para ter o mesmo denominador:

Passo 9

Agora, aplicando a identidade :
E podemos reescrever como :

Passo 10

Lembrando que , temos:

Resposta

Portanto, provamos que .

Exercícios relacionados

Encontre uma expressão equivalente para em termos de e
Fazer o indicado em cada item:
(a) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.