Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero e usar algumas propriedades de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando está bem perto de 0, a função cosseno pode ser aproximada por uma série de Taylor. A série de Taylor para em torno de 0 é:
Como a gente tem no nosso limite, vamos substituir por na série:
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de na nossa fração original:
Os 1’s se cancelam:
À medida que se aproxima de 0, os termos com e superiores vão pra zero. Então, o que resta é:

Resposta

O limite é .

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Prove que
Encontre uma expressão equivalente para em termos de e
O que se pode afirmar sobre a convergência de ?