Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero e usar algumas propriedades de limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
está bem perto de 0, a função cosseno pode ser aproximada por uma série de Taylor. A série de Taylor para
em torno de 0 é:
Como a gente tem
no nosso limite, vamos substituir
por
na série:
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão de
na nossa fração original:
Os 1’s se cancelam:
À medida que
se aproxima de 0, os termos com
e superiores vão pra zero. Então, o que resta é:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Prove que
Encontre uma expressão equivalente para
em termos de
e
O que se pode afirmar sobre a convergência de
?