lim x 0 cos (3 x)-1x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero e usar algumas propriedades de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots está bem perto de 0, a função cosseno pode ser aproximada por uma série de Taylor. A série de Taylor para cos(3x) = 1 - (3x)^22 + (3x)^424 - dots em torno de 0 é:
cos(3x) = 1 - 9x^22 + 81x^424 - dots
Como a gente tem no nosso limite, vamos substituir por na série:
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de cos(3x) - 1x^2 = (1 - 9x^22 + 81x^424 - dots) - 1x^2 na nossa fração original:
-9x^22 + 81x^424 - dotsx^2 = -92 + 81x^224 - dots
Os 1’s se cancelam:
-92
À medida que se aproxima de 0, os termos com e superiores vão pra zero. Então, o que resta é:

Resposta

O limite é .

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