O que se pode afirmar sobre a convergência de sumn=1^infty ln (2 n+e^-nn-e^-n) ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a convergência da série infinita:
sumn=1^infty ln (2n + e^-nn - e^-n)
Aqui, estamos lidando com uma série que envolve logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o termo geral se comporta quando cresce e aplicar testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
ln (2n + e^-nn - e^-n) = ln(2n + e^-n) - ln(n - e^-n)
Quando 2n + e^-n approx 2n e n - e^-n approx n é muito grande, ln(2n + e^-n) approx ln(2n) e ln(n - e^-n) approx ln(n) se aproxima de zero. Então, podemos aproximar:
ln(2n + e^-n) - ln(n - e^-n) approx ln(2n) - ln(n) = ln(2nn) = ln(2)
Substituindo essas aproximações:
Portanto:

Passo 3

Agora, observamos que o termo geral da série tende a limn to infty ln (2n + e^-nn - e^-n) = ln(2) quando tende ao infinito:
Para uma série infinita convergir, é necessário que o limite do termo geral seja zero. Se o limite for diferente de zero, a série não converge.

Resposta

A série não converge porque o termo geral tende a diferente de zero.

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