Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada, porque os termos da série têm sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa devido ao
. Séries alternadas seguem a forma
onde
.
Passo 3
Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui,
. Primeiro, vamos verificar se
é decrescente. Observamos que, conforme
aumenta,
também aumenta, então
diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
Passo 5
Agora, vamos ver o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso porque o logaritmo natural de
cresce sem limite conforme
aumenta, fazendo com que
se aproxime de zero.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Passo 7
Agora, para calcular a soma da série, precisamos saber que, em geral, é difícil encontrar a soma exata de séries infinitas, especialmente quando os termos não seguem uma forma simples. No caso dessa série, não há uma soma fechada conhecida.
Resposta
A série
é convergente, mas não é possível determinar o valor exato da soma.