Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=2^infty (-1)^nln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série sumn=2^infty (-1)^nln n é convergente ou divergente. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada, porque os termos da série têm sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa devido ao (-1)^n. Séries alternadas seguem a forma sumn=1^infty (-1)^n an onde an > 0.

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são decrescentes, ou seja, an+1 <= an para todo n.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui, an = 1ln n. Primeiro, vamos verificar se an é decrescente. Observamos que, conforme n aumenta, ln n também aumenta, então 1ln n diminui. Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 5

Agora, vamos ver o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty 1ln n = 0
Isso porque o logaritmo natural de n cresce sem limite conforme n aumenta, fazendo com que 1ln n se aproxime de zero.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série sumn=2^infty (-1)^nln n converge.

Passo 7

Agora, para calcular a soma da série, precisamos saber que, em geral, é difícil encontrar a soma exata de séries infinitas, especialmente quando os termos não seguem uma forma simples. No caso dessa série, não há uma soma fechada conhecida.

Resposta

A série sumn=2^infty (-1)^nln n é convergente, mas não é possível determinar o valor exato da soma.

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