Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns truques com fatoriais e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos no numerador e no denominador. Sabemos que . Então, podemos simplificar assim:

Passo 3

Agora, vamos observar que é igual ao coeficiente de combinação . Isso porque:
Então, nossa série fica:

Passo 4

Conhecemos uma fórmula de séries que envolve combinações. A soma de é igual a , onde . No nosso caso, e . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Mas atenção! Nossa série começa em , não em . Então, precisamos subtrair o termo quando . Quando :
Portanto, a soma da nossa série original é:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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A temperatura em é dada por .
a) Ache a taxa de variação de em na direção de . Resp.:
Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e e em metros.
Em que direção no ponto a temperatura cresce mais rapidamente?
A temperatura em é dada por .
d) Em que direção decresce mais rapidamente em ? Resp.:
Seja . Encontre um vetor ortogonal ao e determine a taxa de variação de na direção de e interprete o significado geométrico desse valor encontrado. É possível generalizar esse resultado, ou seja, a taxa de variação de uma dada função na direção perpendicular ao gradiente é sempre nula? Justifique sua resposta, com base em argumentos da teoria.
Resp.: e .