Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty (n+3)!3!n!3^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns truques com fatoriais e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos (n+3)!3!n!3^n = (n+3)(n+2)(n+1)n!6 cdot n! cdot 3^n = (n+3)(n+2)(n+1)6 cdot 3^n no numerador e no denominador. Sabemos que . Então, podemos simplificar assim:

Passo 3

Agora, vamos observar que binomn+33 = (n+3)(n+2)(n+1)6 é igual ao coeficiente de combinação sumn=1^infty binomn+33 (13)^n . Isso porque:
Então, nossa série fica:

Passo 4

Conhecemos uma fórmula de séries que envolve combinações. A soma de sumn=0^infty binomn+33 (13)^n = 1(1 - 13)^4 = 1(23)^4 = (32)^4 = 8116 é igual a , onde . No nosso caso, e . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Mas atenção! Nossa série começa em binom0+33 (13)^0 = binom33 cdot 1 = 1 , não em 8116 - 1 = 8116 - 1616 = 6516 . Então, precisamos subtrair o termo quando . Quando :
Portanto, a soma da nossa série original é:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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