Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns truques com fatoriais e combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos
no numerador e
no denominador. Sabemos que
. Então, podemos simplificar assim:
Passo 3
Agora, vamos observar que
é igual ao coeficiente de combinação
. Isso porque:
Então, nossa série fica:
Passo 4
Conhecemos uma fórmula de séries que envolve combinações. A soma de
é igual a
, onde
. No nosso caso,
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Mas atenção! Nossa série começa em
, não em
. Então, precisamos subtrair o termo quando
. Quando
:
Portanto, a soma da nossa série original é:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é
.
Exercícios relacionados
A temperatura
em
é dada por
.
a) Ache a taxa de variação de em
na direção de
. Resp.:
a) Ache a taxa de variação de
Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e
e
em metros.
Em que direção no ponto
a temperatura cresce mais rapidamente?
A temperatura
em
é dada por
.
d) Em que direção decresce mais rapidamente em
? Resp.:
d) Em que direção
Seja
. Encontre um vetor
ortogonal ao
e determine a taxa de variação de
na direção de
e interprete o significado geométrico desse valor encontrado. É possível generalizar esse resultado, ou seja, a taxa de variação de uma dada função na direção perpendicular ao gradiente é sempre nula? Justifique sua resposta, com base em argumentos da teoria.
Resp.: e
.
Resp.: