Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns truques com fatoriais e combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos
no numerador e
no denominador. Sabemos que
. Então, podemos simplificar assim:
Passo 3
Agora, vamos observar que
é igual ao coeficiente de combinação
. Isso porque:
Então, nossa série fica:
Passo 4
Conhecemos uma fórmula de séries que envolve combinações. A soma de
é igual a
, onde
. No nosso caso,
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Mas atenção! Nossa série começa em
, não em
. Então, precisamos subtrair o termo quando
. Quando
:
Portanto, a soma da nossa série original é:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é
.