A temperatura
em
é dada por
.
a) Ache a taxa de variação de
em
na direção de
. Resp.:
a) Ache a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de temperatura
e precisa encontrar a taxa de variação dessa temperatura no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar calcular o gradiente da função
e normalizar o vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. Matemáticamente, é dado por:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção
. Para isso, calculamos o módulo (comprimento) do vetor e dividimos cada componente por esse módulo:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente em
e o vetor unitário
: