A temperatura T em (x, y, z) é dada por T = 4x^2 - y^2 + 8z^2.
a) Ache a taxa de variação de T em P(1, 2, -1) na direção de -i + 3j - 2k. Resp.: D_u T(1,2,-1) = 12/raiz(14)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de temperatura e precisa encontrar a taxa de variação dessa temperatura no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar calcular o gradiente da função e normalizar o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Matemáticamente, é dado por:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção . Para isso, calculamos o módulo (comprimento) do vetor e dividimos cada componente por esse módulo:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente em e o vetor unitário :

Resposta

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