A temperatura em é dada por .
a) Ache a taxa de variação de em na direção de . Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de temperatura e precisa encontrar a taxa de variação dessa temperatura no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar calcular o gradiente da função e normalizar o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Matemáticamente, é dado por:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção . Para isso, calculamos o módulo (comprimento) do vetor e dividimos cada componente por esse módulo:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente em e o vetor unitário :

Resposta

Exercícios relacionados

Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e e em metros.
Em que direção no ponto a temperatura cresce mais rapidamente?
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
A temperatura em é dada por .
d) Em que direção decresce mais rapidamente em ? Resp.: