A temperatura T em (x, y, z) é dada por T = 4x^2 - y^2 + 8z^2.
d) Em que direção T decresce mais rapidamente em P ? Resp.: -nabla T = (-8, 4, 16)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função de temperatura em um ponto no espaço. A pergunta é: Em que direção a temperatura diminui mais rapidamente no ponto ? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a entender como a função muda em cada direção no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Seus componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial da nossa função :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Então, o gradiente da temperatura é:
Esse vetor nos mostra a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir de um ponto .

Passo 5

Mas a pergunta quer saber a direção em que a temperatura diminui mais rapidamente. Para isso, basta inverter a direção do gradiente. Então, a direção onde decresce mais rapidamente é o vetor negativo do gradiente:

Passo 6

Se considerarmos um ponto específico , podemos substituir os valores de , e para encontrar o vetor na direção desejada. No entanto, como o exercício não especifica um ponto , a resposta geral é simplesmente o vetor negativo do gradiente.

Resposta

A direção em que a temperatura decresce mais rapidamente em é .

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