A temperatura
em
é dada por
.
d) Em que direção
decresce mais rapidamente em
? Resp.:
d) Em que direção
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função de temperatura
em um ponto
no espaço. A pergunta é: Em que direção a temperatura
diminui mais rapidamente no ponto
? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a entender como a função muda em cada direção no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Seus componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial da nossa função
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Então, o gradiente da temperatura
é:
Esse vetor nos mostra a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir de um ponto
.
Passo 5
Mas a pergunta quer saber a direção em que a temperatura diminui mais rapidamente. Para isso, basta inverter a direção do gradiente. Então, a direção onde
decresce mais rapidamente é o vetor negativo do gradiente:
Passo 6
Se considerarmos um ponto específico
, podemos substituir os valores de
,
e
para encontrar o vetor na direção desejada. No entanto, como o exercício não especifica um ponto
, a resposta geral é simplesmente o vetor negativo do gradiente.
Resposta
A direção em que a temperatura
decresce mais rapidamente em
é
.