Seja . Encontre um vetor ortogonal ao e determine a taxa de variação de na direção de e interprete o significado geométrico desse valor encontrado. É possível generalizar esse resultado, ou seja, a taxa de variação de uma dada função na direção perpendicular ao gradiente é sempre nula? Justifique sua resposta, com base em argumentos da teoria.
Resp.: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal ao gradiente de no ponto , calcular a taxa de variação de na direção desse vetor e interpretar o que isso significa geometricamente. Além disso, precisamos verificar se, de forma geral, a taxa de variação de uma função na direção perpendicular ao gradiente é sempre zero. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes e taxas de variação direcionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Portanto,
No ponto , o gradiente é:

Passo 3

Queremos encontrar um vetor que seja ortogonal a . Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Seja , então:
Resolvendo essa equação:
Podemos escolher para simplificar, então:
Portanto, um vetor ortogonal é . Para ter um vetor unitário (de comprimento 1), normalizamos :
Então,

Passo 4

Agora, vamos determinar a taxa de variação de na direção de , que é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor :
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:

Passo 5

O valor obtido para a taxa de variação é zero. Geometricamente, isso significa que, na direção de , a função não está aumentando nem diminuindo; ou seja, está apontando para uma direção na qual a função permanece constante.

Passo 6

Para verificar se esse resultado é generalizável, vamos pensar na definição do gradiente. O gradiente aponta na direção de maior aumento da função . Qualquer vetor que seja perpendicular ao gradiente, ou seja, ortogonal a , estará numa direção onde a função não muda. Portanto, a taxa de variação de na direção perpendicular ao gradiente será sempre zero.

Resposta

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