Seja
. Encontre um vetor
ortogonal ao
e determine a taxa de variação de
na direção de
e interprete o significado geométrico desse valor encontrado. É possível generalizar esse resultado, ou seja, a taxa de variação de uma dada função na direção perpendicular ao gradiente é sempre nula? Justifique sua resposta, com base em argumentos da teoria.
Resp.:
e
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor
que seja ortogonal ao gradiente de
no ponto
, calcular a taxa de variação de
na direção desse vetor
e interpretar o que isso significa geometricamente. Além disso, precisamos verificar se, de forma geral, a taxa de variação de uma função na direção perpendicular ao gradiente é sempre zero. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes e taxas de variação direcionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto,
No ponto
, o gradiente é:
Passo 3
Queremos encontrar um vetor
que seja ortogonal a
. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Seja
, então:
Resolvendo essa equação:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Portanto, um vetor ortogonal é
. Para ter um vetor unitário (de comprimento 1), normalizamos
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos determinar a taxa de variação de
na direção de
, que é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e o vetor
:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Passo 5
O valor obtido para a taxa de variação
é zero. Geometricamente, isso significa que, na direção de
, a função
não está aumentando nem diminuindo; ou seja,
está apontando para uma direção na qual a função
permanece constante.
Passo 6
Para verificar se esse resultado é generalizável, vamos pensar na definição do gradiente. O gradiente
aponta na direção de maior aumento da função
. Qualquer vetor
que seja perpendicular ao gradiente, ou seja, ortogonal a
, estará numa direção onde a função
não muda. Portanto, a taxa de variação de
na direção perpendicular ao gradiente será sempre zero.
Resposta
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em
é dada por
.
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? Resp.:
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.
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