Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e e em metros.
Em que direção no ponto a temperatura cresce mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a temperatura em um ponto no espaço:
A questão quer saber em que direção, no ponto , a temperatura aumenta mais rápido. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor gradiente:

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto específico :
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, substituímos os valores:

Passo 6

O vetor gradiente nos dá a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto . Para saber a direção, podemos normalizar esse vetor, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o módulo do vetor:
Agora, o vetor unitário na direção do gradiente é:

Resposta

A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
a) , Resp.:
A temperatura em é dada por .
a) Ache a taxa de variação de em na direção de . Resp.:
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.