Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e
e
em metros.
Em que direção no ponto
a temperatura cresce mais rapidamente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a temperatura em um ponto no espaço:
A questão quer saber em que direção, no ponto
, a temperatura aumenta mais rápido. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos montar o vetor gradiente:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto específico
:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, substituímos os valores:
Passo 6
O vetor gradiente
nos dá a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto
. Para saber a direção, podemos normalizar esse vetor, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o módulo do vetor:
Agora, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Resposta
A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor
no ponto
.
Exercícios relacionados
Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
a) , Resp.:
a)
A temperatura
em
é dada por
.
a) Ache a taxa de variação de em
na direção de
. Resp.:
a) Ache a taxa de variação de
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.