Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente também precisa encontrar a soma dessa série. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a série está fazendo. Ela soma infinitos termos da expressão
à medida que
cresce. Para saber se a série converge (ou seja, se a soma tende a um número finito) ou diverge (não soma a um número finito), precisamos analisar o comportamento dos termos gerais quando
vai para o infinito.
Passo 3
Um teste básico para verificar a convergência de uma série é o Teste da Divergência. Esse teste diz que, se o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Matematicamente, se:
então a série
diverge.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, encontramos o limite do termo geral quando
tende ao infinito:
Podemos dividir numerador e denominador por
:
Passo 5
Como o limite do termo geral é
, que é diferente de zero (
), pelo Teste da Divergência, a série não converge. Portanto, ela diverge.
Resposta
A série
diverge.
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(2,0 pontos) Escreva as equaçōes e em seguida represente as curvas de nivel de
para os niveis,
e
.
Quando uma série é convergente? Dê dois exemplos. Dê exemplo de uma série divergente. Qual é o significado de
?
Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]
Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]