Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.
sumn=1^infty n-13 n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty n-13n-1 é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente também precisa encontrar a soma dessa série. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a série está fazendo. Ela soma infinitos termos da expressão n-13n-1 à medida que cresce. Para saber se a série converge (ou seja, se a soma tende a um número finito) ou diverge (não soma a um número finito), precisamos analisar o comportamento dos termos gerais quando vai para o infinito.

Passo 3

Um teste básico para verificar a convergência de uma série é o Teste da Divergência. Esse teste diz que, se o limite do termo geral da série quando limn to infty an neq 0 tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Matematicamente, se:
então a série diverge.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, encontramos o limite do termo geral quando limn to infty n-13n-1 tende ao infinito:
limn to infty 1 - 1n3 - 1n = 1 - 03 - 0 = 13
Podemos dividir numerador e denominador por :

Passo 5

Como o limite do termo geral é , que é diferente de zero ( ), pelo Teste da Divergência, a série não converge. Portanto, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n-13n-1 diverge.

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