Quando uma série é convergente? Dê dois exemplos. Dê exemplo de uma série divergente. Qual é o significado de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries! A pergunta quer saber quando uma série é convergente, pedir dois exemplos de séries convergentes, um exemplo de uma série divergente e o que significa
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de séries convergentes e divergentes, além de exemplos para ilustrar cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série. Uma série é a soma de uma sequência de termos. Por exemplo,
significa somar todos os termos
até o infinito.
Passo 3
Agora, uma série é convergente quando a soma dos seus termos se aproxima de um número finito à medida que adicionamos mais termos. Em outras palavras, à medida que somamos mais e mais termos, a soma total não vai para o infinito, mas sim para um valor específico.
Passo 4
Vamos a dois exemplos de séries convergentes:
-
Série geométrica com razão
: Por exemplo,Essa série converge para 2. -
Série harmônica alternada:Essa série também é convergente e converge para
.
Passo 5
Agora, um exemplo de série divergente:
Série harmônica:
Apesar dos termos diminuírem, a soma continua aumentando sem limite, ou seja, tende ao infinito. Portanto, essa série é divergente.
Passo 6
Por fim, sobre o significado de
:
Isso significa que a soma infinita dos termos
converge para o valor 5. Em outras palavras, conforme adicionamos mais termos da série, a soma total se aproxima cada vez mais de 5 e não ultrapassa esse valor.
Resposta
Uma série é convergente quando a soma de seus termos se aproxima de um número finito à medida que adicionamos mais termos. Dois exemplos de séries convergentes são a série geométrica
que converge para 2, e a série harmônica alternada
que converge para
. Um exemplo de série divergente é a série harmônica
, que tende ao infinito. A expressão
significa que a soma infinita dos termos
converge para o valor 5.
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(2,0 pontos) Escreva as equaçōes e em seguida represente as curvas de nivel de
para os niveis,
e
.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.