Quando uma série é convergente? Dê dois exemplos. Dê exemplo de uma série divergente. Qual é o significado de sumn=1^infty an=5 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries! A pergunta quer saber quando uma série é convergente, pedir dois exemplos de séries convergentes, um exemplo de uma série divergente e o que significa . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de séries convergentes e divergentes, além de exemplos para ilustrar cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série. Uma série é a soma de uma sequência de termos. Por exemplo, significa somar todos os termos até o infinito.

Passo 3

Agora, uma série é convergente quando a soma dos seus termos se aproxima de um número finito à medida que adicionamos mais termos. Em outras palavras, à medida que somamos mais e mais termos, a soma total não vai para o infinito, mas sim para um valor específico.

Passo 4

Vamos a dois exemplos de séries convergentes:
  1. Série geométrica com razão sumn=0^infty ar^n :
    sumn=1^infty (-1)^n+1n = 1 - 12 + 13 - 14 + dots
    Por exemplo, Essa série converge para 2.
  2. Série harmônica alternada:
    Essa série também é convergente e converge para .

Passo 5

Agora, um exemplo de série divergente:
Série harmônica:
sumn=1^infty 1n = 1 + 12 + 13 + 14 + dots
Apesar dos termos diminuírem, a soma continua aumentando sem limite, ou seja, tende ao infinito. Portanto, essa série é divergente.

Passo 6

Por fim, sobre o significado de :
Isso significa que a soma infinita dos termos converge para o valor 5. Em outras palavras, conforme adicionamos mais termos da série, a soma total se aproxima cada vez mais de 5 e não ultrapassa esse valor.

Resposta

Uma série é convergente quando a soma de seus termos se aproxima de um número finito à medida que adicionamos mais termos. Dois exemplos de séries convergentes são a série geométrica que converge para 2, e a série harmônica alternada que converge para . Um exemplo de série divergente é a série harmônica , que tende ao infinito. A expressão significa que a soma infinita dos termos converge para o valor 5.

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