Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
i) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série converge ou diverge. Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de Séries Infinito e utilizar Testes de Convergência, como o Teste da Integral, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Note que todos os termos são positivos para (já que só é definido para e positivo para ). Isso significa que podemos aplicar o Teste da Integral, que é útil para séries de termos positivos.

Passo 3

O Teste da Integral nos diz que, para uma função positiva e decrescente, a série converge se e somente se a integral converge. Então, vamos transformar a nossa série em uma função contínua:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral imprópria:
Escolhi o limite inferior como 2 para evitar o ponto onde pode causar problemas na função logarítmica.

Passo 5

Fazendo a substituição , então . A substituição nos deixa:

Passo 6

Essa integral é do tipo , onde . Sabemos que converge se . No nosso caso, , então a integral converge.

Passo 7

Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série também converge. Ignoramos os primeiros termos da série para facilitar a aplicação do teste.

Resposta

A série converge.

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Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
h) ;
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
ј) .