Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
i)
;
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de Séries Infinito e utilizar Testes de Convergência, como o Teste da Integral, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Note que todos os termos são positivos para
(já que
só é definido para
e positivo para
). Isso significa que podemos aplicar o Teste da Integral, que é útil para séries de termos positivos.
Passo 3
O Teste da Integral nos diz que, para uma função
positiva e decrescente, a série
converge se e somente se a integral
converge. Então, vamos transformar a nossa série em uma função contínua:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral imprópria:
Escolhi o limite inferior como 2 para evitar o ponto onde
pode causar problemas na função logarítmica.
Passo 5
Fazendo a substituição
, então
. A substituição nos deixa:
Passo 6
Essa integral é do tipo
, onde
. Sabemos que
converge se
. No nosso caso,
, então a integral converge.
Passo 7
Como a integral
converge, pelo Teste da Integral, a série
também converge. Ignoramos os primeiros termos da série para facilitar a aplicação do teste.
Resposta
A série
converge.
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Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
h) ;
h)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
ј) .
ј)