Usando o teste da razão, determine se as séries são ou não convergentes:
(b) sumn=1^infty 2^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste da razão para descobrir se a série converge ou não. Basicamente, vamos analisar como os termos da série se comportam quando avançamos no índice .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre o termo de índice L = limn to infty | an+1an | e o termo de índice . A fórmula é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série an+1 = 2^n+1(n+1)^2 = 2 cdot 2^n(n+1)^2 . Primeiro, identifique an+1an = 2 cdot 2^n/(n+1)^22^n/n^2 = 2 cdot n^2(n+1)^2 . Agora, calculemos an+1an = 2 ( nn+1 )^2 :
Agora, vamos formar a razão :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty 2 ( nn+1 )^2 = 2 ( limn to infty nn+1 )^2 vai para infinito:
limn to infty nn+1 = 1
Sabemos que:
L = 2 cdot 1^2 = 2
Então:

Resposta

Como , pela teste da razão, a série diverge.

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