Determine quais dos seguintes subconjuntos dados formam urna base para . Expresse o vetor como uma combinaçāo linear dos vetores em cada subconjunto que é urn a base:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos. A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores forma uma base para . Se formar, vamos expressar o vetor como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores ser uma base de , ele precisa satisfazer duas condições:
Linearmente Independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Gerar o Espaço: Juntos, os vetores devem conseguir formar qualquer vetor em através de combinações lineares.
Então, para verificar se nosso conjunto é uma base, vamos checar a independência linear dos vetores.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas:
Para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Como det(A) = 5 neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para R^3.
Passo 5
Agora que sabemos que o conjunto é uma base, vamos expressar o vetor (1,2,3) como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
a(1,1,1) + b(1,2,3) + c(2,-1,1) = (1,2,3)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + 2c = 1 a + 2b - c = 2 a + 3b + c = 3
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou o método matricial. Vou usar o método de substituição para facilitar.
Primeiro, da primeira equação:
a = 1 - b - 2c
Agora, substituímos a nas outras duas equações:
(1 - b - 2c) + 2b - c = 2 (1 - b - 2c) + 3b + c = 3
Simplificando a segunda equação:
1 + b - 3c = 2 b - 3c = 1 (Equação 4) çã
E a terceira equação:
1 + 2b - c = 3 2b - c = 2 (Equação 5) çã
Passo 7
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
b - 3c = 1 2b - c = 2
Vamos resolver esse sistema. Podemos expressar b da Equação 4:
b = 1 + 3c
Substituímos esse valor na Equação 5:
2(1 + 3c) - c = 2 2 + 6c - c = 2 5c = 0 c = 0
Agora, substituímos c = 0 na expressão para b:
b = 1 + 3(0) = 1
E finalmente, substituímos b = 1 e c = 0 na expressão para a:
a = 1 - 1 - 2(0) = 0
Passo 8
Então, encontramos que a = 0, b = 1 e c = 0. Portanto, a combinação linear fica: