Determine quais dos seguintes subconjuntos dados formam urna base para . Expresse o vetor como uma combinaçāo linear dos vetores em cada subconjunto que é urn a base:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos. A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores forma uma base para . Se formar, vamos expressar o vetor como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores ser uma base de , ele precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Gerar o Espaço: Juntos, os vetores devem conseguir formar qualquer vetor em através de combinações lineares.
Então, para verificar se nosso conjunto é uma base, vamos checar a independência linear dos vetores.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas:
Para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 4

Calculando o determinante de :
Vamos calcular cada parte:
Como , os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Passo 5

Agora que sabemos que o conjunto é uma base, vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou o método matricial. Vou usar o método de substituição para facilitar.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos nas outras duas equações:
Simplificando a segunda equação:
çã
E a terceira equação:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos expressar da Equação 4:
Substituímos esse valor na Equação 5:
Agora, substituímos na expressão para :
E finalmente, substituímos e na expressão para :

Passo 8

Então, encontramos que , e . Portanto, a combinação linear fica:

Resposta

Os vetores formam uma base para , e o vetor pode ser expressado como:

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Determine quais dos seguintes subconjuntos dados formam urna base para . Expresse o vetor como uma combinaçāo linear dos vetores em cada subconjunto que é urn a base:
Seja um conjunto de vetores de sendo
. Encontre um subconjunto de que seja base para