Determine quais dos seguintes subconjuntos dados formam urna base para R^3. Expresse o vetor (1,2,3) como uma combinaçāo linear dos vetores em cada subconjunto que é urn a base:
(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos. A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) forma uma base para R^3. Se formar, vamos expressar o vetor (1,2,3) como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores ser uma base de R^3, ele precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Gerar o Espaço: Juntos, os vetores devem conseguir formar qualquer vetor em R^3 através de combinações lineares.
Então, para verificar se nosso conjunto é uma base, vamos checar a independência linear dos vetores.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas:
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1
Para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 3) - 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) + 2 cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 1)
Vamos calcular cada parte:
= 1 cdot (2 + 3) - 1 cdot (1 + 1) + 2 cdot (3 - 2)
= 1 cdot 5 - 1 cdot 2 + 2 cdot 1
= 5 - 2 + 2 = 5
Como det(A) = 5 neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para R^3.

Passo 5

Agora que sabemos que o conjunto é uma base, vamos expressar o vetor (1,2,3) como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
a(1,1,1) + b(1,2,3) + c(2,-1,1) = (1,2,3)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + 2c = 1 a + 2b - c = 2 a + 3b + c = 3

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou o método matricial. Vou usar o método de substituição para facilitar.
Primeiro, da primeira equação:
a = 1 - b - 2c
Agora, substituímos a nas outras duas equações:
(1 - b - 2c) + 2b - c = 2 (1 - b - 2c) + 3b + c = 3
Simplificando a segunda equação:
1 + b - 3c = 2 b - 3c = 1 (Equação 4) çã
E a terceira equação:
1 + 2b - c = 3 2b - c = 2 (Equação 5) çã

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
b - 3c = 1 2b - c = 2
Vamos resolver esse sistema. Podemos expressar b da Equação 4:
b = 1 + 3c
Substituímos esse valor na Equação 5:
2(1 + 3c) - c = 2 2 + 6c - c = 2 5c = 0 c = 0
Agora, substituímos c = 0 na expressão para b:
b = 1 + 3(0) = 1
E finalmente, substituímos b = 1 e c = 0 na expressão para a:
a = 1 - 1 - 2(0) = 0

Passo 8

Então, encontramos que a = 0, b = 1 e c = 0. Portanto, a combinação linear fica:
0 cdot (1,1,1) + 1 cdot (1,2,3) + 0 cdot (2,-1,1) = (1,2,3)

Resposta

Os vetores (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) formam uma base para R^3, e o vetor (1,2,3) pode ser expressado como:
0 cdot (1,1,1) + 1 cdot (1,2,3) + 0 cdot (2,-1,1) = (1,2,3)

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