Seja S=v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 um conjunto de vetores de R^4 sendo
v 1=(1,2,-2,1), v 2=(-3,0,-4,3), v 3=(2,1,1,-1), v 4=(-3,3,-9,6) e v 5=(9,3,7,-6). Encontre um subconjunto de S que seja base para W=>=r(S)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto de cinco vetores em e pede para encontrarmos um subconjunto que forme uma base para o espaço gerado por esses vetores, que chamamos de .
Matéria envolvida: Álgebra linear, especificamente conceitos de espaço vetorial, subespaço, base e independência linear.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma base e como verificar a independência linear.
  • Utilizar métodos de eliminação, como escalonamento de matrizes, para identificar vetores independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma base para é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Como estamos em , a base terá no máximo 4 vetores.
Para verificar quais vetores de são necessários, vamos ver se algum vetor pode ser escrito como combinação linear dos anteriores. Se isso acontecer, ele não faz parte da base.

Passo 3

Vamos começar organizando os vetores como colunas de uma matriz. Isso facilita o uso de operações de linha para verificar a independência linear.
A = 1 & -3 & 2 & -3 & 9 2 & 0 & 1 & 3 & 3 -2 & -4 & 1 & -9 & 7 1 & 3 & -1 & 6 & -6

Passo 4

Agora, vamos aplicar escalonamento por linhas na matriz 1 & -3 & 2 & -3 & 9 0 & 6 & -3 & 9 & -15 0 & -10 & 5 & -0 & 25 0 & 6 & -3 & 9 & -15 para identificar os pivôs, que nos indicam quais colunas (vetores) são independentes.
Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira coluna como pivô:

Passo 5

Em seguida, normalizamos a segunda linha dividindo por 6:
1 & -3 & 2 & -3 & 9 0 & 1 & -0.5 & 1.5 & -2.5 0 & -10 & 5 & 0 & 25 0 & 6 & -3 & 9 & -15
Agora, eliminamos os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna.

Passo 6

Após eliminar os outros elementos, a matriz fica assim:
1 & 0 & 0.5 & 1.5 & -4.5 0 & 1 & -0.5 & 1.5 & -2.5 0 & 0 & 0 & 15 & -0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Observamos que a terceira coluna não tem pivô, o que indica que o terceiro vetor pode ser escrito como combinação dos anteriores.

Passo 7

Com base no escalonamento, os vetores correspondentes às colunas com pivôs são , v1, v2, v4 , , e . O vetor pode ser eliminado porque é dependente, e o vetor também não adiciona nada novo.
Portanto, nosso subconjunto que forma a base para é:

Resposta

Um subconjunto de que é base para é .

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