Seja um conjunto de vetores de sendo . Encontre um subconjunto de que seja base para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto de cinco vetores em e pede para encontrarmos um subconjunto que forme uma base para o espaço gerado por esses vetores, que chamamos de .
Matéria envolvida: Álgebra linear, especificamente conceitos de espaço vetorial, subespaço, base e independência linear.
O que vamos precisar:
Entender o que é uma base e como verificar a independência linear.
Utilizar métodos de eliminação, como escalonamento de matrizes, para identificar vetores independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma base para é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Como estamos em , a base terá no máximo 4 vetores.
Para verificar quais vetores de são necessários, vamos ver se algum vetor pode ser escrito como combinação linear dos anteriores. Se isso acontecer, ele não faz parte da base.
Passo 3
Vamos começar organizando os vetores como colunas de uma matriz. Isso facilita o uso de operações de linha para verificar a independência linear.
Passo 4
Agora, vamos aplicar escalonamento por linhas na matriz para identificar os pivôs, que nos indicam quais colunas (vetores) são independentes.
Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira coluna como pivô:
Passo 5
Em seguida, normalizamos a segunda linha dividindo por 6:
Agora, eliminamos os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna.
Passo 6
Após eliminar os outros elementos, a matriz fica assim:
Observamos que a terceira coluna não tem pivô, o que indica que o terceiro vetor pode ser escrito como combinação dos anteriores.
Passo 7
Com base no escalonamento, os vetores correspondentes às colunas com pivôs são , e . O vetor pode ser eliminado porque é dependente, e o vetor também não adiciona nada novo.
Portanto, nosso subconjunto que forma a base para é: