Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base ortogonal do
. Construir uma base ortonormal a partir das bases ortogonais encontradas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um conjunto de três vetores no espaço
e precisa verificar se eles formam uma base ortogonal. Se formarem, também vamos construir uma base ortonormal a partir deles. Para isso, vamos precisar trabalhar com o produto interno (ou produto escalar) e com a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ser ortogonal. Um conjunto de vetores é ortogonal se o produto escalar entre quaisquer dois vetores diferentes é zero. Ou seja, para vetores
,
, e
, a gente precisa que
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre os vetores dados:
Primeiro,
:
Passo 4
Agora,
:
Passo 5
Por fim,
:
Passo 6
Como todos os produtos escalares deram zero, o conjunto
é realmente uma base ortogonal do
.
Passo 7
Agora, vamos construir uma base ortonormal, ou seja, uma base onde os vetores são não só ortogonais, mas também de norma 1. Para isso, vamos normalizar cada vetor, dividindo-o pela sua norma.
A norma de um vetor
é dada por:
Passo 8
Calculando as normas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Agora, normalizamos cada vetor dividindo pelos seus respectivos comprimentos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O conjunto
forma uma base ortogonal do
. A base ortonormal correspondente é: