Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base ortogonal do . Construir uma base ortonormal a partir das bases ortogonais encontradas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um conjunto de três vetores no espaço e precisa verificar se eles formam uma base ortogonal. Se formarem, também vamos construir uma base ortonormal a partir deles. Para isso, vamos precisar trabalhar com o produto interno (ou produto escalar) e com a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ser ortogonal. Um conjunto de vetores é ortogonal se o produto escalar entre quaisquer dois vetores diferentes é zero. Ou seja, para vetores , , e , a gente precisa que , e .
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre os vetores dados:
Primeiro, :
Passo 4
Agora, :
Passo 5
Por fim, :
Passo 6
Como todos os produtos escalares deram zero, o conjunto é realmente uma base ortogonal do .
Passo 7
Agora, vamos construir uma base ortonormal, ou seja, uma base onde os vetores são não só ortogonais, mas também de norma 1. Para isso, vamos normalizar cada vetor, dividindo-o pela sua norma.
A norma de um vetor é dada por:
Passo 8
Calculando as normas:
Para :
Para :
Para :
Passo 9
Agora, normalizamos cada vetor dividindo pelos seus respectivos comprimentos:
Para :
Para :
Para :
Resposta
O conjunto forma uma base ortogonal do . A base ortonormal correspondente é: