Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base ortogonal do . Construir uma base ortonormal a partir das bases ortogonais encontradas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um conjunto de três vetores no espaço e precisa verificar se eles formam uma base ortogonal. Se formarem, também vamos construir uma base ortonormal a partir deles. Para isso, vamos precisar trabalhar com o produto interno (ou produto escalar) e com a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ser ortogonal. Um conjunto de vetores é ortogonal se o produto escalar entre quaisquer dois vetores diferentes é zero. Ou seja, para vetores , , e , a gente precisa que , e .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre os vetores dados:
Primeiro, :

Passo 4

Agora, :

Passo 5

Por fim, :

Passo 6

Como todos os produtos escalares deram zero, o conjunto é realmente uma base ortogonal do .

Passo 7

Agora, vamos construir uma base ortonormal, ou seja, uma base onde os vetores são não só ortogonais, mas também de norma 1. Para isso, vamos normalizar cada vetor, dividindo-o pela sua norma.
A norma de um vetor é dada por:

Passo 8

Calculando as normas:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Agora, normalizamos cada vetor dividindo pelos seus respectivos comprimentos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

O conjunto forma uma base ortogonal do . A base ortonormal correspondente é:

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