Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base ortogonal do R^3. Construir uma base ortonormal a partir das bases ortogonais encontradas.
(1,1,1),(-2,1,1),(0,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um conjunto de três vetores no espaço R^3 e precisa verificar se eles formam uma base ortogonal. Se formarem, também vamos construir uma base ortonormal a partir deles. Para isso, vamos precisar trabalhar com o produto interno (ou produto escalar) e com a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ser ortogonal. Um conjunto de vetores é ortogonal se o produto escalar entre quaisquer dois vetores diferentes é zero. Ou seja, para vetores u, v, e w, a gente precisa que u cdot v = 0, u cdot w = 0 e v cdot w = 0.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre os vetores dados:
  • v1 = (1, 1, 1)
  • v2 = (-2, 1, 1)
  • v3 = (0, -1, 1)
Primeiro, v1 cdot v2:
v1 cdot v2 = (1)(-2) + (1)(1) + (1)(1) = -2 + 1 + 1 = 0

Passo 4

Agora, v1 cdot v3:
v1 cdot v3 = (1)(0) + (1)(-1) + (1)(1) = 0 - 1 + 1 = 0

Passo 5

Por fim, v2 cdot v3:
v2 cdot v3 = (-2)(0) + (1)(-1) + (1)(1) = 0 - 1 + 1 = 0

Passo 6

Como todos os produtos escalares deram zero, o conjunto v1, v2, v3 é realmente uma base ortogonal do R^3.

Passo 7

Agora, vamos construir uma base ortonormal, ou seja, uma base onde os vetores são não só ortogonais, mas também de norma 1. Para isso, vamos normalizar cada vetor, dividindo-o pela sua norma.
A norma de um vetor v = (a, b, c) é dada por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 8

Calculando as normas:
  • Para v1 = (1, 1, 1):
|v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
  • Para v2 = (-2, 1, 1):
|v2| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
  • Para v3 = (0, -1, 1):
|v3| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2

Passo 9

Agora, normalizamos cada vetor dividindo pelos seus respectivos comprimentos:
  • Para v1:
u1 = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
  • Para v2:
u2 = ( -2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 )
  • Para v3:
u3 = ( 0, -1raiz2, 1raiz2 )

Resposta

O conjunto (1,1,1), (-2,1,1), (0,-1,1) forma uma base ortogonal do R^3. A base ortonormal correspondente é:
( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ), ( -2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ), ( 0, -1raiz2, 1raiz2 )

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