Determine quais dos seguintes subconjuntos dados formam urna base para R^3. Expresse o vetor (1,2,3) como uma combinaçāo linear dos vetores em cada subconjunto que é urn a base:
(1,1,2),(1,2,5),(5,3,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4) forma uma base para o R^3. Além disso, se formar, vamos expressar o vetor (1,2,3) como uma combinação linear desses vetores. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre bases, independência linear e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e, se forem, montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes da combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em álgebra linear, uma base para um espaço vetorial como R^3 é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço inteiro. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação desses vetores.

Passo 3

Para saber se os vetores v1, v2, v3 = (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4) são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
A matriz fica assim:
A = 1 & 1 & 5 1 & 2 & 3 2 & 5 & 4

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(2 cdot 4 - 5 cdot 3) - 1(1 cdot 4 - 2 cdot 3) + 5(1 cdot 5 - 2 cdot 2)
det(A) = 1(8 - 15) - 1(4 - 6) + 5(5 - 4)
det(A) = 1(-7) - 1(-2) + 5(1)
det(A) = -7 + 2 + 5 = 0

Passo 5

O determinante da matriz A é zero, o que significa que os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes. Portanto, eles não formam uma base para R^3.

Resposta

Os vetores (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4) não formam uma base para porque são linearmente dependentes.

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