Determine quais dos seguintes subconjuntos dados formam urna base para . Expresse o vetor como uma combinaçāo linear dos vetores em cada subconjunto que é urn a base:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores forma uma base para o . Além disso, se formar, vamos expressar o vetor como uma combinação linear desses vetores. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre bases, independência linear e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e, se forem, montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes da combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em álgebra linear, uma base para um espaço vetorial como é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço inteiro. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses vetores.

Passo 3

Para saber se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
A matriz fica assim:

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz . O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

O determinante da matriz é zero, o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Portanto, eles não formam uma base para .

Resposta

Os vetores não formam uma base para porque são linearmente dependentes.

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Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base ortogonal do . Construir uma base ortonormal a partir das bases ortogonais encontradas.
Seja um conjunto de vetores de sendo
. Encontre um subconjunto de que seja base para
Quais dos seguintes coniuntos:

constituem base para