Determine quais dos seguintes subconjuntos dados formam urna base para . Expresse o vetor como uma combinaçāo linear dos vetores em cada subconjunto que é urn a base:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores forma uma base para o . Além disso, se formar, vamos expressar o vetor como uma combinação linear desses vetores. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre bases, independência linear e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e, se forem, montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes da combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em álgebra linear, uma base para um espaço vetorial como é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço inteiro. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses vetores.
Passo 3
Para saber se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
A matriz fica assim:
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz . O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
O determinante da matriz é zero, o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Portanto, eles não formam uma base para .
Resposta
Os vetores não formam uma base para porque são linearmente dependentes.