Quais dos seguintes coniuntos:
v2(x)=2-x+4 x^2, r2(x)-3 mp 6 x+2 x^2 e s2(x)-2+10 x-4 x^2
constituem base para P2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para verificar quais dos seguintes conjuntos de polinômios formam uma base para , que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço . Então, vamos ver se os polinômios dados satisfazem esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os polinômios que temos:
Para formar uma base para , precisamos que esses três polinômios sejam linearmente independentes e que alcancem qualquer polinômio de grau até 2.

Passo 3

Vamos começar verificando se esses polinômios são linearmente independentes. Isso significa que não existe uma combinação linear não trivial desses polinômios que resulte no polinômio zero. Em outras palavras, se 2a + 3b - 2c = 0 (coeficiente constante) -1a -6b +10c = 0 (coeficiente de x) 4a + 2b -4c = 0 (coeficiente de x^2) , então .
Montamos o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo esse sistema, podemos usar o método da matriz aumentada ou substituição. Vamos montar a matriz dos coeficientes:
2 & 3 & -2 -1 & -6 & 10 4 & 2 & -4
Aplicando operações de linha para simplificar:
  1. Multiplicamos a primeira linha por 1 & 1.5 & -1 -1 & -6 & 10 4 & 2 & -4 :
1 & 1.5 & -1 0 & -4.5 & 9 0 & -4 & 0
  1. Adicionamos a primeira linha à segunda e subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira:
1 & 1.5 & -1 0 & 1 & -2 0 & -4 & 0
  1. Dividimos a segunda linha por 1 & 1.5 & -1 0 & 1 & -2 0 & 0 & -8 :
1 & 1.5 & -1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1
  1. Adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira:
  1. Finalmente, dividimos a terceira linha por :

Passo 5

Agora, com a matriz na forma triangular superior, podemos ver que a única solução para o sistema é . Isso significa que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos três polinômios linearmente independentes em , que é um espaço de dimensão 3, eles também geram o espaço. Portanto, os polinômios formam uma base para .

Resposta

Todos os conjuntos , e constituem uma base para .

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