Quais dos seguintes coniuntos:
constituem base para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para verificar quais dos seguintes conjuntos de polinômios formam uma base para , que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço . Então, vamos ver se os polinômios dados satisfazem esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os polinômios que temos:
Para formar uma base para , precisamos que esses três polinômios sejam linearmente independentes e que alcancem qualquer polinômio de grau até 2.
Passo 3
Vamos começar verificando se esses polinômios são linearmente independentes. Isso significa que não existe uma combinação linear não trivial desses polinômios que resulte no polinômio zero. Em outras palavras, se , então .
Montamos o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo esse sistema, podemos usar o método da matriz aumentada ou substituição. Vamos montar a matriz dos coeficientes:
2 & 3 & -2 -1 & -6 & 10 4 & 2 & -4
Aplicando operações de linha para simplificar:
Multiplicamos a primeira linha por 1 & 1.5 & -1 -1 & -6 & 10 4 & 2 & -4 :
1 & 1.5 & -1 0 & -4.5 & 9 0 & -4 & 0
Adicionamos a primeira linha à segunda e subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira:
1 & 1.5 & -1 0 & 1 & -2 0 & -4 & 0
Dividimos a segunda linha por 1 & 1.5 & -1 0 & 1 & -2 0 & 0 & -8 :
1 & 1.5 & -1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1
Adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira:
Finalmente, dividimos a terceira linha por :
Passo 5
Agora, com a matriz na forma triangular superior, podemos ver que a única solução para o sistema é . Isso significa que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos três polinômios linearmente independentes em , que é um espaço de dimensão 3, eles também geram o espaço. Portanto, os polinômios formam uma base para .