Sejam P e r a reta que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor v neq 0. Mostre que Q=A+projv A P é o ponto de r mais próximo de P. Mostre também que, se B in r, então Q=B+projv B P. Determine fórmula para a distância de P à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre encontrar o ponto mais próximo de um ponto em relação a uma reta . A reta passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e geometria analítica. Precisamos entender como projetar vetores e como isso ajuda a encontrar a distância mínima entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é a projeção do vetor sobre o vetor . A projeção basicamente nos dá a “sombra” de na direção de .

Passo 3

Para encontrar a projeção de projv AP = ( AP cdot vv cdot v ) v sobre , usamos a fórmula:
Aqui, representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 4

Agora, substituindo essa projeção na expressão para Q = A + ( AP cdot vv cdot v ) v :
Isso significa que está na reta porque é gerada a partir de mais um múltiplo de , que é a direção da reta.

Passo 5

Para mostrar que é o ponto mais próximo de na reta , percebemos que o vetor que liga a é perpendicular à reta . Isso ocorre porque a projeção garante que não há componente de na direção de , ou seja, o produto escalar , indicando perpendicularidade.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que se está na reta , então . Como também está na reta , podemos escrever:
[
\vec{v} ) é a mesma direção para ambos e , então a projeção sobre será consistente, garantindo que permanece o ponto mais próximo independente do ponto escolhido na reta.

Passo 7

Por fim, para determinar a fórmula da distância de d = | PQ | = | AP times v || v | à reta , usamos a magnitude do vetor perpendicular . Como é perpendicular a , a distância é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial, e denota a magnitude do vetor.

Resposta

A distância de d = | AP times v || v | à reta é:

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