Mostre que as equações
2 x-13=1-y2=z+1
descrevem uma reta. Exiba equação vetorial e sistema de equações paramétricas para essa reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as equações
2 x-13=1-y2=z+1
descrevem uma reta. A gente vai precisar usar conceitos de Geometria Analítica, como equações paramétricas e equação vetorial de uma reta. Vamos precisar também entender como manipular essas igualdades para chegar nas formas solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando temos uma igualdade desse tipo, estamos dizendo que todas as três expressões são iguais a um mesmo parâmetro. Vamos chamar esse parâmetro de 2x - 13 = t 1 - y2 = t z + 1 = t . Assim, podemos escrever:
Isso nos ajuda a isolar cada variável em função de .

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para 2x - 13 = t 2x - 1 = 3t 2x = 3t + 1 x = 3t + 12 , 1 - y2 = t 1 - y = 2t -y = 2t - 1 y = 1 - 2t e z + 1 = t z = t - 1 :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, temos as equações paramétricas da reta:
x = 32 t + 12 y = -2 t + 1 z = t - 1
Essas equações mostram que cada coordenada depende de , que é o parâmetro. Isso caracteriza uma reta no espaço.

Passo 5

Para escrever a equação vetorial da reta, vamos identificar o ponto inicial e o vetor diretor. Observando as equações paramétricas:
  • Quando x = 12, y = 1, z = -1 :
    v = ( 32, -2, 1 )
    Então, o ponto r = P0 + t v r = ( 12, 1, -1 ) + t ( 32, -2, 1 ) é .
  • Os coeficientes de dão o vetor diretor :
Assim, a equação vetorial da reta é:

Resposta

As equações fornecidas descrevem a reta com a equação vetorial
r = ( 12, 1, -1 ) + t ( 32, -2, 1 )
e o sistema de equações paramétricas
x = 32 t + 12 y = -2 t + 1 z = t - 1

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