descrevem uma reta. Exiba equação vetorial e sistema de equações paramétricas para essa reta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as equações
descrevem uma reta. A gente vai precisar usar conceitos de Geometria Analítica, como equações paramétricas e equação vetorial de uma reta. Vamos precisar também entender como manipular essas igualdades para chegar nas formas solicitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando temos uma igualdade desse tipo, estamos dizendo que todas as três expressões são iguais a um mesmo parâmetro. Vamos chamar esse parâmetro de . Assim, podemos escrever:
Isso nos ajuda a isolar cada variável em função de .
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para , e :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, temos as equações paramétricas da reta:
Essas equações mostram que cada coordenada depende de , que é o parâmetro. Isso caracteriza uma reta no espaço.
Passo 5
Para escrever a equação vetorial da reta, vamos identificar o ponto inicial e o vetor diretor. Observando as equações paramétricas:
Quando x = 12, y = 1, z = -1 :
v = ( 32, -2, 1 )
Então, o ponto r = P0 + t v r = ( 12, 1, -1 ) + t ( 32, -2, 1 ) é .
Os coeficientes de dão o vetor diretor :
Assim, a equação vetorial da reta é:
Resposta
As equações fornecidas descrevem a reta com a equação vetorial